\documentclass[a4paper,18pt]{article}
%
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}
%

\title{ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ}
\date{}
%
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
%
\section{ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ}
%
\subsection[Άσκηση 1]{Άσκηση}
Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακεραίου $\nu$, να υπολογιστεί το άθροισμα 
\begin{equation*}
S=\sum_{k=0}^{\nu} i^k = i+i^2+i^3+\cdots +i^k 
\end{equation*}
%
\subsection*{Λύση}
Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχουν πλήθος $\nu$ και είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο $i$ και λόγo $i$.
Επομένως, $S=i\frac{i^{\nu}-1}{i-1}$
Κάνοντας Ευκλείδεια Διαίρεση του $\nu$ με το $4$ έχουμε $\nu =4\rho + υ$ ,όπου $ρ\in Z $ και $υ=1,2,3,4$.
Εφόσον
\begin{equation*}
i^{\nu }=i^{4ρ + υ}=\begin{cases} i &, \mbox{αν } υ=1\\
				 -1 &, \mbox{αν } υ=2\\
				 -i &, \mbox{αν } υ=3\\
				  1 &, \mbox{αν } υ=4	\end{cases}
\end{equation*}
έχουμε ότι
\begin{equation*}
S=\begin{cases} 0 &, \mbox{αν } υ=1\\
		i &, \mbox{αν } υ=2\\
	     -1+i &, \mbox{αν } υ=3\\
	       -1 &, \mbox{αν } υ=4			\end{cases}
\end{equation*}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[Άσκηση 2]{Άσκηση}
Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών $z$ όταν ο αριθμός $\frac{z-1}{z-2i}$ είναι φανταστικός αριθμός.
\subsection*{Λύση}
Αν $z=x+iy$ τότε:
\begin{eqnarray*}
\frac{z-1}{z-2i} & = & \frac{(x-1)+yi}{x+(y-2)i}  \notag\\
                 & = & \frac{(x^2-x+y^2-2y)+i(2x+y-2)}{x^2+(y-2)^2}   \notag\\
                 & = & \frac{x^2-x+y^2-2y}{x^2+(y-2)^2} + \frac{2x+y-2}{x^2+(y-2)^2} 
\end{eqnarray*}
Επομένως ο αριθμός $\frac{z-1}{z-2i} $ είναι φανταστικός $\Leftrightarrow \frac{x^2-x+y^2-2y}{x^2+(y-2)^2} =0 $
$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=\frac{5}{4}$ και $(x,y)\neq (0,2)$.
Άρα, το σύνολο των εικόνων του $z$ είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο $Κ=(\frac{1}{2} ,1)$ και ακτίνα $\frac{ \sqrt{5} }{2}$ με εξαίρεση το σημείο $Α(0,2)$ 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[Άσκηση 3]{'Ασκηση}
Πόσες διαφορετικές τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση $i^{n}+i^{-n}$ ;
\subsection*{Λύση}
sol
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[Άσκηση 4]{Άσκηση}
Να βρεθούν οι αριθμοί $x,y \in R$, για τους οποίους ισχύει:
\begin{enumerate}
\item $(x+y)+(x-y)i=3-i$
\item $\sqrt{3x^2+x-6} +(x^2-3)i=2+i$
\item $9-27i=(3x+2y)-yi$
\end{enumerate}
%
\subsection*{Λύση}
sol
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[Άσκηση 5]{Άσκηση}
Να περιγράψετε γεωμετρικά τα σύνολα:
\begin{itemize}
\item $Re(z)=0$
\item $Im(z)=0$
\item $Re(z)=Im(z)$
\item $|z+i-3)\geq 5$
\end{itemize}
%
\subsection*{Λύση}
s\newline
o\newline
\newline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[Άσκηση 6]{Άσκηση}
Να δείξετε ότι $(α+bi)^{10} + (b - αi)^{10} =0$ .
\subsection*{Λύση}
Θα εφαρμόσουμε τις γνώστές ταυτότητες και θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του συζυγούς ενός μιγαδικού αριθμού.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\subsection[Άσκηση 7]{Άσκηση *}
Έστω ένας μιγαδικός αριθμός $z$. Να δείξετε ότι:
\begin{itemize}
\item $z\in R \Leftrightarrow z=z $
\item $z\in C-R \Leftrightarrow z=-z $
\end{itemize}
\subsection*{Λύση}
sol
\end{document}
