\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fancybox}
%
\begin{document}
%
\section*{Βασική Άσκηση 1}
Να δείξετε ότι $(3+4i)^{50}+(4-3i)^{50}=0$.
\subsection*{Λύση}
%
\begin{equation*}
\end{equation*}
%
\section*{Βασική άσκηση 2}
Να δείξετε ότι $A=(\frac{1+i}{1-i} )^{4κ} + (\frac{1-i}{1+i})^{4k} = 2$.
\subsection*{Λύση}
%
\section*{Βασική άσκηση 3}
Να λύσετε την εξίσωση $z^3 -5z^2 +9z -5=0$ στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.
\subsection*{Λύση}
Σύμφωνα με το σχήμα του $Horner$, έχουμε:
\begin{eqnarray}
z^3-5z^2+9z-5=0 &\Leftrightarrow & (z-1)(z^2-4z+5)=0 \notag\\
		&\Leftrightarrow & z-1=0 \mbox{ή} z^2-4z+5=0
\end{eqnarray}
Η διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης $z^2-4z+5=0$ είναι $Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4*1*5=-4<0$
Επομένως οι λύσεις είναι $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-Δ} }{2a} =\frac{4\pm 2i}{2} = 2\pm i$.
%
\begin{center}
\doublebox{
%\begin{center}
Υπενθύμιση}
%\end{center}
\makebox[c][c]{
Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση $az^2+bz+c=0$.\\
Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: $Δ=b^2-4ac$.
}
\Ovalbox{$x$}
\ovalbox{$y$}
\begin{itemize}
\item Αν $Δ>0$, η εξίσωση έχει ως λύση 2 άνισους πραγματικούς αριθμούς:
      $$z=\frac{-b \pm \sqrt{Δ} } {2a}$$
\item Αν $Δ=0$, η εξίσωση έχει μία διπλή λύση:
      $z=\frac{-b}{2a}$
\item Αν $Δ<0$, η εξίσωση έχει ως λύση 2 συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς:
      $$z=\frac{-b \pm \sqrt{Δ} } {2a}$$ 
\end{itemize} 
\end{center} 
%
\end{document}

