\documentclass[a4paper,17pt]{article}
%
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
%
\usepackage{tikz}
%
\title{Ψηφιοποιημένες Ασκήσεις Μαθηματικών}
\author{Παύλος Μαργαρίτης}
\date{\today}
%
\begin{document}
\maketitle
\newpage
\tableofcontents
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Άσκηση 1]{Άσκηση}
Έστω $z_{1},z_{2},\dots,z_{n} \in \mathbb{C} $ έτσι ώστε να ισχύει
\begin{equation}
\Big| \frac{z_{1}-i}{z_{1}+i}\Big|+\Big|\frac{z_{2}-i}{z_{2}+i}\Big|+\cdots +\Big|\frac{z_{n}-i}{z_{n}+i}\Big|<1
\end{equation}
Να αποδείξετε ότι $\forall κ\in \{ 1,2,\dots,n \} $ ισχύει ότι $ z_{κ}\in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} $.
%%%%
\subsection*{Λύση}
Έστω $\exists κ \in \{ 1,2,\cdots,n \} : z_{κ} \in \mathbb{R}$. Τότε έχουμε ότι $z_{κ}-i,z_{κ}+i \in \mathbb{C}$ και μάλιστα $\overline{ z_{κ}-i }=z_{κ}+i$.
Επομένως,$ \Big|\dfrac{z_{κ}-i}{z_{κ}+i}\Big|=1 $.
Τότε όμως θα είχαμε
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} \Big| \frac{z_{κ}-i}{z_{κ}+i} \Big| \geq 1
\end{equation*}
που είναι άτοπο.
\begin{flushright}$\square$\end{flushright}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Άσκηση 2]{Άσκηση}
Έστω $z \in \mathbb{C}: \mid z-(2+2i) \mid = \sqrt{2}$. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του $z$ στο μιγαδικό επίπεδο.
\subsection*{Λύση}
Έστω $z=x+iy,\quad x,y\in \mathbb{R}$. Τότε έχουμε:
\begin{eqnarray*}
|z-(2+2i)|        & = & \sqrt{2} \Leftrightarrow \notag\\
|(x-2)+i(y-2)|    & = & \sqrt{2} \Leftrightarrow \notag\\
(x-2)^2 + (y-2)^2 & = & 2 \notag\\
\end{eqnarray*}
Συνεπώς, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος κέντρου Κ$(2,2)$ και ακτίνας $\sqrt{2}$.
%
%\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[->] (0,-3)--(0,5) node[right]{$yi$};
\draw[->] (-3,0)--(5,0) node[below right]{$x$};
\foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \draw (\x,2pt)--(\x,-2pt);
\foreach \y in {1,2,3,4} \draw (2pt,\y)--(-2pt,\y);
%\end{tikzpicture}
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (1,1);
\coordinate (B) at (3,3);
\coordinate (K) at (2,2);
\filldraw (O) circle(1.5pt) node[below left]{O};
\filldraw [blue] (A) circle(1.5pt) node[right,yshift=0.1cm]{A(1,1)};
\filldraw [blue] (B) circle(1.5pt) node[above,right,yshift=0.1cm,xshift=0.1cm,green]{B(3,3)};
\filldraw (K) circle(1.5pt) node[above,right]{K(2,2)};
%\filldraw[fill=yellow,draw=red,very thin] (2,2) circle [radius=1.3];
\draw [red,thin] (2,2) circle [radius=sqrt(2)]; % γραφω ρίζα 2;%
\draw [-] (0,0)--(4,4) node[right](xline){$y=x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%\end{figure}
\begin{flushright}$\square$\end{flushright}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Άσκηση 3]{Άσκηση}
Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών $z$ για τους οποίους ισχύει
$$Arg \Big( \frac{z-1}{z+1} \Big)=\frac{π}{6}$$.
\subsection*{Λύση}
Έστω $z=x+iy, \quad x,y\in \mathbb{R}$. Τότε έχουμε ότι
\begin{equation*}
\frac{z-1}{z+1}=\, \underbrace{\frac{x^2+y^2 -1}{(x+1)^2 + y^2}}_{\mathrm{Α}}\, + \, \underbrace{ \frac{2y}{(x+1)^2+y^2}}_{\mathrm{Β}} \, i
\end{equation*}
Πρέπει
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}=\tan \dfrac{π}{6} \\ \\
\mathrm{B}>0\\
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{flushright}$\square$\end{flushright}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Άσκηση 4]{Άσκηση}
Αν $ω=\cos \left(\dfrac{2π}{n}\right) + i\sin \left(\dfrac{2π}{n}\right)$, να αποδείξετε ότι:\\
\\ $\bullet \quad 1+ω+ω^2+\cdots+ω^{n-1}=0$\\
$\bullet \quad 1\cdot ω\cdot ω^2\cdots ω^{n-1}=(-1)^{n-1}$ 
\subsection*{Λύση}
Έχουμε $1+ω+ω^2+\cdots +ω^{n-1}=\dfrac{ 1-ω^n}{1-ω}=\dfrac{1-1}{1-ω}=0$
\\
\\
Έχουμε $1\, \cdot \, ω \, \cdot  \, ω^2 \, \cdots \, ω^{n-1}=ω^{\frac{n(n-1)}{2}}=\dots=(-1)^{n-1}$
\begin{flushright}$\square$\end{flushright}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Άσκηση 5]{Άσκηση}
Έστω $z \in \mathbb{C}: \, |z|=1$. Να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών $w$ με $w=2z+1$.
\subsection*{Λύση}
Αρκεί να περιγράψουμε γεωμετρικά το σύνολο $$\mathrm{A} =\{ 2z+1: z\in \mathbb{C}\, , \, |z|=1 \} $$
Είναι $z=\dfrac{w-1}{2}$, οπότε $|z|=1 \Leftrightarrow \Bigg| \dfrac{w-1}{2} \Bigg| =1 \Leftrightarrow |w-1|=2 $\\
Επομένως, το σύνολο Α είναι κύκλος κέντρου Κ(0,1) και ακτίνας $\mathrm{R}=2$, δηλαδή\\
\noindent \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\draw[step=1,gray,very thin] (-3,-3) grid (8,8);
\draw[thick, ->] (0,0)--(6.5,0) node[anchor=north west]{$x$};
\foreach \x in{1,2,3,4,5,6} \draw(\x cm,1pt) to (\x cm, -1pt) node[anchor=north]{$\x$};
\coordinate (O) at (0,0);
\filldraw (O) circle(1pt) node[below left] {O};
\draw[thick, ->] (0,0)--(0,6.5) node[anchor=south east]{$yi$};
\draw[-,thick] (0,0)--(-2,0);
\draw[-,thick] (0,0)--(0,-2);
\foreach \y in{1,2,3,4,5,6} \draw(1pt, \y cm)--(-1pt, \y cm) node[anchor=east]{$\y$};
\draw[thick] (1,0) circle [radius=2];
\end{tikzpicture}
\begin{flushright}$\square$\end{flushright}
\end{document}

