\documentclass[11pt]{beamer}
\beamertemplatenavigationsymbolsempty %εξαφανίζει τα κουμπιά κάτω αριστερά
\addtobeamertemplate{navigation symbols}{}
{
	\small \insertframenumber / \inserttotalframenumber
} %για ένδειξη αειθμού σελίδων
\usetheme{Rochester} %θέματα και χρωματικοί συνδυασμοί 
\usecolortheme{beaver}
%Για περισσότερες πληροφορίες δες https://hartwork.org/beamer-theme-matrix 
%
\usepackage{cite} %πακέτο για βιβλιογραφία
\usepackage{fontspec}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Times New Roman}
\usepackage{polyglossia}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage{xgreek}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{IEEEtrantools} %πακέτο για στοίχιση εξισώσεων
\usepackage{mdframed} %πακέτο για εισαγωγή πλαισίων
%
%\DeclareLanguageMapping{english}{greek}
%\addbibresource{mybiblio.bib}
%
\usepackage{graphicx} %πακέτο για εισαγωγή εικόνων
%
\usepackage{xcolor}
%\usepackage[colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=cyan,urlcolor=green,unicode]{hyperref} %πακέτο για υπερσυνδέσμους.Μπαίνει πάντα τελευταίο ως πακέτο
\usepackage{hyperref}
%
%\theoremstyle{theorem}
%\newtheorem{theorem}{ΘΕΩΡΗΜΑ}
%\newtheoremstyle{neo}{8pt}{8pt}{\rmfamily }{0pt}{\bfseries}{{\color{red}.}}{\newline}{{\color{red}\thmname{#1} \thmnumber{#2}}\thmnote{(#3)}}
%\mdfdefinestyle{theorembox}{
%linewidth=1.5pt,
%linecolor=gray,
%roundcorner=1cm,
%innerleftmargin=5pt,
%innerrightmargin=5pt,
%innertopmargin=5pt,
%innerbottommargin=6pt,
%backgroundcolor=blue!5,
%} %ορίζουμε ένα στυλ mdframed με το όνομα theorembox
%\newenvironment{mytheorem}[1][]{\begin{mdframed}[style=theorembox,frametitle={\textbf{Θεώρημα \themytheorem}#1}]}{\end{mdframed}}
%\theoremstyle{neo}
%\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{mytheorem}{{\color{red}ΘΕΩΡΗΜΑ}}
%
%ορισμός δύο νέων εντολών \newcommand{όνομα καινούριας εντολής}[αριθμός {} που θα δέχεται]{ορισμός εντολής}
%\newcommand{\eng}{\selectlanguage{english}}
%\newcommand{\gr}{\selectlanguage{greek}}
%έχω ορίσει δύο νέες εντολές
%
%\addto{\captionsenglish}{\renewcommand{\refname}{\textgreek{Αγγλική Βιβλιογραφία}}}
%\addto{\captionsgreek}{\renewcommand{\refname}{\textgreek{Ελληνική Βιβλιογραφία}}}
%
\title{Επιχειρησιακή Έρευνα: Η συμβολή των μαθηματικών στον γραμμικό προγραμματισμό και οι σύγχρονες εφαρμογές του}
\author{Παύλος Μαργαρίτης}
\institute{Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων}
\date{\today}
%
\begin{document}
%
\definecolor{Orange1}{rgb}{1,0.85,0.5}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ}
\tableofcontents
\end{frame}
%
\section{Εισαγωγή}

\begin{frame}[allowframebreaks]{Εισαγωγή} %για να σπάει το κέιμενο σε πολλές διαφάνειες αν δεν χωράει σε μία %τίτλος διαφάνειας
%\begin{block}{}
\small
\begin{block}{\textbf{Επιχειρησιακή Έρευνα}}
\begin{itemize}
\item επιστημονικός κλάδος %\onslide<+->
\item ανάπτυξη και εφαρμογή επιστημονικών μεθοδολογιών και τεχνικών %\onslide<+->
\item στόχος: επίλυση προβλημάτων λήψης αποφάσεων, συνήθως υπό συνθήκες που απαιτούν την κατανομή σπάνιων παραγωγικών πόρων.
\end{itemize}
\end{block} 
\begin{block}{\textbf{Μαθηματικός Προγραμματισμός}}
\begin{itemize}
\item σύνολο μαθηματικών μεθόδων και υπολογιστικών τεχνικών (αλγορίθμων)
\item χρήση: επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης~\cite{2022}
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{\textbf{Πρόβλημα βελτιστοποίησης}}
Περιγράφεται μέσω ενός μαθηματικού μοντέλου το οποίο αποτελείται από:
\begin{itemize}
\item μια πραγματική συνάρτηση της οποίας ζητείται το μέγιστο (ή το ελάχιστο)
\item μια ομάδα συνθηκών που πρέπει να ικανοποιούνται από τις μεταβλητές της συνάρτησης.
\end{itemize}
\end{block}
\begin{alertblock}{\textbf{Πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού}}
Όταν η συνάρτηση αυτή και οι απαιτούμενες συνθήκες εκφράζονται από γραμμικές σχέσεις, τότε κάνουμε λόγο για πρόβλημα Γραμμικού
 Προγραμματισμού.
\end{alertblock}
%\end{block}
\end{frame}

  
\section{Βιβλιογραφική ανασκόπηση και εφαρμογές}
\subsection{Βιβλιογραφική ανασκόπηση}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Βιβλιογραφική ανασκόπηση και εφαρμογές}
\framesubtitle{Βιβλιογραφική ανασκόπηση}
\small
\begin{itemize} %[<+->]
\item 1840: Ο \textlatin{Charles Babbage}(1791-1871) μελέτησε το κόστος μεταφοράς και ταξινόμησης της αλληλογραφίας.
\item 1917: Ο \textlatin{Anger Krarup Erlang(1878-1929)} μελέτησε προβλήματα που αφορούν τον χρόνο απασχόλησης των τηλεφωνικών κέντρων
\item 1920: Ο \textlatin{Horace Clifford Levinson} ασχολήθηκε με προβλήματα πωλήσεων και εμπορίου.
\item Β΄ Παγκόσμιος Πόλεμος: καθοριστικός ρόλος της Επιχειρησιακής Έρευνας στον στρατηγικό σχεδιασμό, τον εφοδιασμό και την κατανομή των πόρων~\cite{2021}
\item 1950 και 1960: αναπτύχθηκαν θεμελιώδεις αλγόριθμοι και μεθοδολογίες (μέθοδος του \textlatin{Simplex}~\cite{2017})
\end{itemize}
\end{frame}
% 
% 
\subsection{Εφαρμογές του Γραμμικού Προγραμματισμού}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Βιβλιογραφική ανασκόπηση και εφαρμογές}
\framesubtitle{Εφαρμογές του Γραμμικού Προγραμματισμού~\cite{2007}}
\begin{itemize}
\item \alert{ενέργεια}: βελτιστοποίηση διανομής ενέργειας, σχεδιασμός ενεργειακών δικτύων~\cite{2020}
\item \alert{γεωργία}: βελτιστοποίηση χρήσης γης και καλλιεργειών~\cite{2007}
\item \alert{διαχείριση εφοδιαστικής αλυσίδας και μεταφορές}: βελτιστοποίηση δρομολογίων, διαχείριση αποθεμάτων, χωροθέτηση εγκαταστάσεων.~\cite{2017}
\item \alert{οικονομικά συστήματα}: βελτιστοποίηση επενδύσεων, πιστωτικές πολιτικές~\cite{2016}
\item \alert{συστήματα υγείας}: κατανομή ιατρικού προσωπικού και πόρων~\cite{1999}
\end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Mοντελοποίηση}

\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Διατύπωση γενικού προβλήματος γραμικού προγραμματισμού - μοντελοποίηση\cite{2022}}
%\onslide<1->{
\small
Να μεγιστοποιηθεί (ή να ελαχιστοποιηθεί) η συνάρτηση \vspace{1mm} \\ \colorbox{Orange1}{\begin{minipage}[l][1.2\totalheight]{0.968\linewidth}$$Z=c_1x_1+c_2x_2+ \dots + c_n x_n$$\end{minipage}} 
υπό τους περιορισμούς  
\colorbox{Orange1}{\begin{minipage}[l]{0.955\linewidth}
\begin{align*}
   a_{11}x_1 &+& a_{12} x_2 &+&\dots &+&a_{1n}x_{n} \; &\{ \leq , =, \geq \}& b{_1}\\
   a_{21}x_1 &+& a_{22} x_2 &+&\dots &+&a_{2n}x_n \; &\{ \leq , =, \geq \}& b_2\\
   &\vdots&  &\vdots& &\vdots& &\vdots& \vdots \\
   a_{m1}x_1 &+& a_{m2} x_2 &+& \dots &+&a_{mn}x_n \; &\{ \leq , =, \geq \}& b_m
\end{align*} \end{minipage} } 
%}
%\onslide<1>*{
%\end{frame}

%\begin{frame}
\vspace{5mm}
\textbf{Υποθέσεις}
\begin{itemize}
\item Τα $a_{ij},b_i,c_j$ είναι πραγματικές σταθερές.
\item μπορεί να ισχύει μόνο μία από τις σχέσεις $\leq , = , \geq$
\item συνθήκη μη αρνητικότητας: $x_1\geq 0 , x_2 \geq 0, \cdots , x_n \geq 0$.
\end{itemize}
%}
%\pause
\end{frame}

\begin{frame}
%\onslide<2->{
\textbf{Ορολογία}
\begin{itemize}
\item $Z$: αντικειμενική συνάρτηση
\item $c_j$: συντελεστές κέρδους (ή κόστους για προβλήματα μεγιστοποίησης) 
\item $x_1 , x_2 , \cdots , x_n$: συντελεστές αποφάσεων.
\item Η περιοχή στην οποία ικανοποιούνται όλοι οι περιορισμοί: εφικτή περιοχή.
\end{itemize} 
%}
\end{frame}

\subsection{Θεωρητικό παράδειγμα εφαρμογής}

\begin{frame} %[allowframebreaks]
\frametitle{Θεωρητικό παράδειγμα εφαρμογής\cite{2006}}
\small Μια εταιρία παράγει δύο προϊόντα Α και Β. Η εταιρία έχει δύο εργοστάσια ηλεκτρικών μηχανημάτων τα οποία από κοινού κατασκευάζουν τα δύο προϊόντα στις 
ποσότητες ανά ώρα που φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα:
\begin{center}
%\begin{arrayrulecolor}{black}
\begin{tabular}{c||c|c}
%\rowcolor{lightgray}
%\cellcolor{white}
	 &\textbf{Εργοστάσιο 1} & \textbf{Εργοστάσιο 2}\\ \hline
%\cellcolor{yellow}
 \textbf{Προϊόν Α} & 10 	      & 20    	    \\ \hline
%\cellcolor{yellow}
 \textbf{Προϊόν Β} & 25          & 25 	    \\ \hline
\end{tabular}
%\end{arrayrulecolor}
\end{center}
Η εταιρία λαμβάνει μια παραγγελία για 300 τεμάχια του προϊόντος Α και 500 τεμάχια του προϊόντος Β. Η δαπάνη λειτουργίας του Εργοστασίου 1 είναι 10.000 
ευρώ ανά ώρα, ενώ του Εργοστασίου Β είναι 8.000 ευρώ ανά ώρα.
\begin{itemize}
\item Να σχηματιστεί το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού για την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους της παραγγελίας
\item Να βρεθεί το σημείο όπου ελαχιστοποιείται το κόστος, καθώς και το ελάχιστο κόστος
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Λύση}
\underline{\textsc{Ορισμός μεταβλητών - Συνθήκες}}:\\
\begin{itemize}
\item $x_1 , x_2$ είναι ο αριθμός των ωρών κατά τις οποίες λειτουργούν τα δύο εργοστάσια για την ικανοποίηση της παραγγελίας.
\item $z=10.000x_1 + 8.000x_2$ είναι το συνολικό κόστος λειτουργίας των δύο εργοστασίων 
\item σε μία ώρα παράγονται 
\begin{itemize} \item$10x_1+20x_2$ τεμάχια του προϊόντος Α \item$25x_1 + 25x_2$ τεμάχια του προϊόντος Β\end{itemize}
\item Zητούνται 300 τεμάχια του Α, άρα πρέπει $10x_1+20x_2 \geq 300$ 
\item Ζητούνται 500 τεμάχια του Β, άρα πρέπει $25x_1 + 25x_2 \geq 500$.
\item Ισχύουν επίσης $x_1 \geq 0 $ και $x_2 \geq 0$.\vspace{1mm}
\end{itemize}
\underline{\textsc{Μαθηματική μοντελοποίηση}}:\\ \vspace{2mm}
Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση $$z=10.000x_1 + 8.000x_2 $$ υπό τους περιορισμούς 
\begin{align*}
10x_1 + 20x_2 \geq 300\\
25x_1 + 25x_2 \geq 500\\
x_1 \geq 0 \\
x_2 \geq 0
\end{align*}\\

\end{frame}


\begin{frame}
\underline{\textsc{Γραφική αναπαράσταση}}\\
\begin{figure}[h] %here η τοποθέτηση της εικόνας
\centering %κεντραρισμένη
\includegraphics[width=0.65\linewidth ]{img1a.pdf}
\caption{Αναπαράσταση της εφικτής περιοχής}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
Για την εύρεση της λύσης χρησιμοποιούμε το παρακάτω θεώρημα \\
\begin{theorem} %\label{thm:ex1}
Αν υπάρχει το καλύτερο διατεταγμένο ζεύγος $(x_1,x_2)$, δηλαδή το ζεύγος εκείνο που ελαχιστοποιεί (ή μεγιστοποιεί) την αντικειμενική συνάρτηση, τότε
 οι τιμές $x_1$ και $x_2$ θα είναι οι συντεταγμένες $(x_1,x_2)$ ενός (ή περισσοτέρων) σημείου από τις κορυφές της εφικτής περιοχής.
\end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
Συνεπώς, προσδιορίζουμε τα σημεία Α,Β,Γ, λύνοντας τα αντίστοιχα συστήματα εξισώσεων.
Με αντικατάσταση των σημείων Α(0,20), Β(10,10) , Γ(30,0) στην συνάρτηση $z$, έχουμε:\\
\begin{description}
\item[Για το Α(0,20)] $z=10.000\cdot 0+8.000 \cdot 20 \; = \; 160.000$
\item[Για το Β(10,10)] $z=10.000 \cdot 10 + 8.000 \cdot 20 \; = \; 180.000$
\item[Για το Γ(30,0)] $z=10.000 \cdot 0 + 8.000 \cdot 30 \; = \; 300.000$
\end{description}
%\end{frame}

%\begin{frame}[allowframebreaks]
\underline{\textsc{Συμπεράσματα}}: \\ \vspace{2mm}
Το σημείο Α(0,20) ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση $z$. Δηλαδή το ελάχιστο
 κόστος είναι \mbox{160.000} ευρώ και επιτυγχάνεται όταν το Εργοστάσιο 1 δεν λειτουργεί καθόλου, ενώ το Εργοστάσιο 2 λειτουργεί 
 συνολικά για 20 ώρες.
\end{frame}
 
\section{Συμπεράσματα}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Συμπεράσματα}
\begin{exampleblock}{}
\begin{itemize}
\item Tα μαθηματικά παίζουν ουσιαστικό ρόλο στην επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και γενικότερα στην επιχειρησιακή 
έρευνα, παρέχοντας ένα ισχυρό και αναλυτικό πλαίσιο για την ανάλυση και την μοντελοποίηση.
\item Η ευρεία εφαρμογή του Γραμμικού Προγραμματισμού σε πολλούς τομείς, καταδεικνύει την τεράστια αξία και την αναγκαιότητα του.
\item Η συνεχής ανάπτυξη νέων μεθοδολογιών και υπολογιστικών εργαλίων θα επηρρεάσει καταλυτικά την αντιμετώπιση σύνθετων προβλημάτων του μέλλοντος.  
\end{itemize}
\end{exampleblock}
\end{frame}

\section{Αναφορές}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Αναφορές}
%εκτυπώνει όλη την βιβλιογραφία
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{mybiblio}
\nocite{*}
\end{frame}

\end{document}
