\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[greek,english]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{esvect}
\usepackage[colorlinks=true, linkcolor=magenta]{hyperref}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usepackage{mathrsfs}
\usetikzlibrary{arrows}
\pagestyle{empty}
\author{Μαρία Ξανθίππη Ψαροπά \\
Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων}
\title{Επίλυση Μαθηματικών Ασκήσεων}
\date{\today}
\begin{document}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0}
\maketitle
\tableofcontents
\section{Άσκηση $1$}
\textbf{Εκφώνηση: }
Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: $y' = \frac{1}{2e^{y}-x}$ \\
\\
\begin{center}
	\textbf{Λύση:}
\end{center}
Η δοθείσα διαφορική εξίσωση δεν είναι γραμμική. Εναλλάσοντας όμως, το ρόλο
των μεταβλητών και θεωρόντας το x ως συνάρτηση του y, προκύπτει ότι:
\begin{equation}
	\frac{dx}{dy} + x = 2e^{y},
	\label{eq: eq1} 
\end{equation}
η οποία είναι γραμμική εξίσωση ως προς το x(y). Έτσι, απο την (\ref{eq: eq1})
έχουμε
\[\frac{d}{dx}(xe^{y})=2e^{2y},\]
οπότε
\[xe^{y} = e^{2y} + C,\]
ή
\begin{equation}
	x = e^{y} + Ce^{-y},
	\label{eq: eq2}
\end{equation}
όπου C είναι μια αυθαίρετη πραγματική σταθερά. Η σχέση (\ref{eq: eq2}) δίνει 
τη γενική λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης σε \textit{πεπλεγμένη μορφή.} 

\section{Άσκηση $2$}
\textbf{Εκφώνηση: } Δίνεται τρίγωνο ABC με πλευρές $AB=5 \text{cm}, AC = 6 \text{cm},$
και γωνία $\angle BAC = 60^{^{\circ}}$.\\
Να σχεδιάσετε το τρίγωνο και να φέρετε το ύψος απο το σημείο Α στην πλευρα BC.
Να υπολογιστεί το μήκος του ύψους.

\bigskip
\begin{center}
	\textbf{Λύση:}
\end{center}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=.7]
		\draw[dashed, gray] (-2,-2) grid (7,7);
		
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,0);
		\coordinate (C) at ({6*cos(60)},{6*sin(60)});

		\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (A);

		\draw[dashed] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$);
		\draw[fill] (A) circle (1pt) node[below left] {$(A)$};
		\draw[fill] (B) circle (1pt) node[below right] {$(B)$};
		\draw[fill] (C) circle (1pt) node[above] {$(C)$};
		\draw[fill] ($(B)!(A)!(C)$) circle (1pt) node[right] {$(D)$};
		\node at (2.5,-0.3) {\(5\,cm\)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\bigskip

Γνωρίζουμε ότι:
\[
h = AC \cdot \sin(\angle BAC) = 6 \cdot \sin(60^{^{\circ}}) = 6 \cdot 
\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \, \text{cm}
\]
Άρα. το ύψος από το Α στην πλευρά BC είναι περίπου $\boxed{5.20 \, \text{cm}}$ 

\section{Άσκηση $3$}
\textbf{Εκφώνηση: } Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση $f(x) = x^2 -2x -3$ και να
προσδιοριστούν οι ρίζες, το ελάχιστο και το σημείο τομής με τον άξονα y.
\begin{center}
	\textbf{Λύση:}
\end{center}
Έχουμε τη συνάρτηση:
\begin{equation}
	f(x) = x^2 -2x -3
	\label{eq: eq3}
\end{equation}
με γραφική παράσταση:

\bigskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.7,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\begin{axis}[
x=1cm,y=1cm,
axis lines=middle,
ymajorgrids=true,
xmajorgrids=true,
xmin=-4.55818181818182,
xmax=4.561818181818183,
ymin=-6.476363636363634,
ymax=6.483636363636359,
xtick={-4,-3,...,4},
ytick={-6,-5,...,6},]
\clip(-4.55818181818182,-6.476363636363634) rectangle (4.561818181818183,6.483636363636359);
\draw[line width=2pt,color=qqwuqq,smooth,samples=100,domain=-4.55818181818182:4.561818181818183] plot(\x,{(\x)^(2)-2*(\x)-3});
\begin{scriptsize}
\draw[color=qqwuqq] (-2.1581818181818186,6.233636363636358) node {$f$};
\end{scriptsize}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Οι ρίζες της συνάρτησης (\ref{eq: eq3}) είναι οι τιμές του x για τις οποίες ισχυεί:
\[
f(x) = 0 \Rightarrow x^2 -2x -3 = 0
\] 
Εφαρμόζουμε τον τύπο επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
όπου $a=1, b=-2, c=-3$. Υπολογίζουμε:
\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} 
= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
\]
Άρα:
\begin{itemize}
	\item $x_1 = \frac{2+4}{2} = 3$
	\item $x_2 = \frac{2-4}{2} = -1$
\end{itemize}

Οι ρίζες της συνάρτησης είναι:
\[
x=-1 \text{ και } x=3
\]
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή με φορά προς τα \textbf{πάνω},
αφού ο συντελεστής του $x^2$ είναι θετικός.
\\
Η x-συντεταγμένη της κορυφής του ελαχίστου δίνεται από τον τύπο:
\[
x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 1} = \frac{2}{2} = 1
\] 
Αντικαθιστούμε στην $f(x)$ για να βρούμε το ελάχιστο:
\[
f(1) = (1)^2 -2 \cdot 1 -3 = 1-2-3 = -4
\]
Άρα το ελάχιστο της συνάρτησης είναι στο σημείο $(1, -4)$
\\
Η τομή με τον άξονα y γίνεται όταν $x=0$:
\[
f(0) = 0^2 -2\cdot 0 -3 = -3
\]
Άρα η συνάρτηση τέμνει τον άξονα y στο σημείο: $(0, -3)$

\section{Άσκηση $4$}
\textbf{Εκφώνηση: }Αν $A = 
\begin{pmatrix}	
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$
υπολογίστε τον πίνακα $A^n$.
\begin{center}
	\textbf{Λύση:}
\end{center}
\begin{align*}
\text{Έχουμε }A^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} 
	\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} 
	= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2 \\
	A^3 &= A^2 \cdot A = -I_2 \cdot A = -A, \\
	A^4 &= A^2 \cdot A^2 = (-I_2) \cdot (-I_2) = I_2
\end{align*}
Άρα: 
\begin{align*}
A^n &= \begin{cases} I_2, & n=4k \\
		     A, & n=4k+1, \\
		     -I_2, & n=4k+2,\\
		     -A, & n=4k+3
	\end{cases} \qquad ,k \in \mathbb{N}
\end{align*}

\section{Άσκηση $5$}
\textbf{Εκφώνηση: }Αν $\vv{u}, \vv{v}, \vv{w}$
είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του $\mathbb{R}^3$ δείξτε ότι και τα
$\vv{u} + 2\vv{v} + 4\vv{w}, 2\vv{v} + 5\vv{u} + \vv{w}, 3\vv{u} + \vv{w}$
είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα.

\begin{center}
	\textbf{Λύση:}
\end{center}
Έστω $k, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ τέτοια ώστε
\[
k\cdot (\vv{u} + 2\vv{v} + 4\vv{w}) + \lambda \cdot (2\vv{v} + 5\vv{u} + \vv{w})
+ \mu \cdot (3\vv{u} + \vv{w}) = \vv{\mathbf{0}}.
\]
Τότε
\[
(k +5\lambda +3\mu) \cdot \vv{u} + (2k + 2\lambda) \cdot \vv{v} + (4k + \lambda + \mu) \cdot \vv{w} = \vv{\mathbf{0}}.
\]
Επειδή τα $u,v,w$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα εξ ορισμού το σύστημα εξισώσεων
\[
\begin{cases}
	k + 5\lambda +3\mu = 0 \\
	2k +2\lambda = 0 \\
	4k + \lambda + \mu = 0
\end{cases}
\]
πρέπει να έχει μοναδική λύση τη μηδενική. Το σύστημα αυτό είναι ομογενές 
$3 \times 3$ σύστημα. Επειδή η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων ικανοποιεί την
\[
\begin{vmatrix}
	1 & 5 & 3 \\
	2 & 2 & 0\\
	4 & 1 & 1
\end{vmatrix} = -26 \neq 0
\]
συμπεραίνουμε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση τη μηδενική $k= \lambda = \mu =0 $.
Άρα τα $\vv{u} + 2\vv{v} +4\vv{w}, 2\vv{v} + 5\vv{u} + \vv{w}, 3\vv{u} + \vv{w}$
είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
\end{document}
