\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}  
\usepackage{tabularx}
\begin{document}
\section*{Ασκηση 1:}
Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: \\
\textbf{(α)} 
\(
\int \frac{6x^3+x^2-2x+1}{2x-1}\,dx
\) \quad
\textbf{(β)}
\(
\int \frac{dx}{\sin^2x\cos^2x}
\) \quad
\textbf{(γ)}
\(
\int \frac{dx}{\sqrt{5-x^2-4x}}
\)
\subsection*{Λύση}
\textbf{(α)}
Εχουμε $ \frac{6x^3+x^2-2x+1}{2x-1}=3x^2+2x+\frac{1}{2x-1},\quad$  οπότε θα είναι \\
\(
\int \frac{6x^3+x^2-2x+1}{2x-1}\,dx = \int(3x^2+2x)\,dx+\int\frac{dx}{2x-1}=x^3+x^2+\ln\left|2x-1\right|+c ,\quad \\
x\in\left(-\infty,\quad\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2},\quad\infty\right).
\)
\\ \\
\textbf{(β)}
\(
\int \frac{dx}{\sin^2x\cos^2x}=4\int\frac{dx}{\sin^2{2x}}=-2\cot{2x}+c,\quad x\ne k\pi,k\in \mathbb{Z}
\) \\ \\
\textbf{(γ)}
\(
I=\int\frac{dx}{\sqrt{5-x^2-4x}}=\int\frac{dx}{\sqrt{9-(x+2)^2}}=\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\left( \frac{x+2}{3} \right)^2}}
\) \\
Αν θέσουμε $ \frac{x+2}{3}=t $,\quad τότε $x+2=3t$ και $dx = 3dt ,\quad$ \\ οπότε έχουμε
\(
I=\frac{1}{3}\int\frac{3dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin t +c=\arcsin\left(\frac{x+2}{3}\right)+c,\quad
\) \\
όπου $ x\in J = \left\{x:\left|x+2\right| < 3 \right\}=\left(-5,\quad1\right) $
note: οι ασκήσεις ειναι απο το αρχείο \textlatin{paradeigmata\_askiseon\_mathjax.docx} που είναι ανεβασμένο στο \textlatin{spooky}.
\section*{Ασκηση 2:}
Να αποτυπωθεί ο ακόλουθος πίνακας σε γράφημα με χρήση \textlatin{tikz}
\begin{table}[h]
\caption{\textlatin{gpu speedup}}
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
speedup&1&2&3&4\\
\hline
1000&10.39372325&10.10540915&9.574244415&8.858358663\\
2000&84.91593476&103.9600614&108.1694193&105.5819033\\
3000&134.1270928&206.6760481&247.3585965&266.2280967\\
4000&167.7174254&289.8229908&376.431623&430.2481752\\
5000&171.3004226&315.9734197&433.1362173&526.3092929\\
6000&190.1277774&360.6296115&505.1097613&635.0680865\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\subsection*{Λύση}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[
		title={\textlatin{Multiplication Speedup vs Matrix Size using k GPUs}},
		xlabel={\textlatin{n}},
		ylabel={\textlatin{speedup}},
		legend pos=north west,
		grid=major,
		width=12cm,
		height=8cm
		]
		%δεδομενα για 1 gpu 
		\addplot coordinates {
			(1000,10.39)
			(2000,84.91)
			(3000,134)
			(4000,167)
			(5000,171)
			(6000,190)
		};
		\addlegendentry{1 \textlatin{GPU}}

		%δεδομενα για 2 gpu
		\addplot coordinates {
			(1000,10)
			(2000,103)
			(3000,206)
			(4000,289)
			(5000,316)
			(6000,360)
		};
		\addlegendentry{2 \textlatin{GPUs}}
		\addplot coordinates {
			(1000,9.57)
			(2000,108)
			(3000,247)
			(4000,376)
			(5000,433)
			(6000,505)
		};
		\addlegendentry{3 \textlatin{GPUs}}
		\addplot coordinates {
			(1000,8.85)
			(2000,105)
			(3000,266)
			(4000,430)
			(5000,526)
			(6000,635)
		};
		\addlegendentry{4 \textlatin{GPUs}}

	\end{axis}
\end{tikzpicture}

\section*{Ασκηση 3:}
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \textlatin{ABC} με \textlatin{AB}=3 και \textlatin{AC}=4. Να βρεθούν η υποτείνουσα και το εμβαδόν του τριγώνου, καθώς και να σχεδιαστεί.
\subsection*{Λύση:}
Γνωρίζουμε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα ότι αν \textlatin{BC} η υποτείνουσα, τότε ισχύει:\\
\(
BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5
\)
άρα η υποτείνουσα του τριγώνου \textlatin{ABC} είναι $BC=5$. Για το εμβαδον του τργώνου τώρα γνωρίζουμε ότι ισχύει ο τύπος: 
\(
Ε = \frac{βαση * υψος}{2}
\).
\\
Αρα έχουμε:\\
\(
(ABC)=\frac{AC*AB}{2}=\frac{3*4}{2}=6
\) \\ \\
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below left]{\textlatin{A}}--(3,0) node[below right]{\textlatin{B}}--(3,4) node[above right]{\textlatin{C}}--cycle;
\draw[thick] (3,0)--(3,0.3)--(2.7,0.3)--(2.7,0);
\end{tikzpicture}

\section*{Ασκηση 4:}
Να βρεθεί που συγκλίνει η ακόλουθη σειρά: 
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k} 
\end{equation*}
\subsection*{Λύση:}
Για την παραπάνω σειρά ισχύει ότι $a_k \ge 0$. Εχουμε: \\
\(
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k} \right|=\frac{(k+1)!}{k!}*\frac{k^k}{(k+1)^{k+1}}=\frac{1*2*3*\cdots*k(k+1)*k^k}{1*2*3**\cdots*(k+1)^k*(k+1)}= \\
\left(\frac{k}{k+1}\right)^k = \left(\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\right)^k \to \frac{1}{e}<1
\) \\
άρα από Κριτήριο Λόγου η 
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty}a_k
\end{equation*} συγκλίνει.


\section*{Ασκηση 5}
Υπολογίστε το ακόλουθο όριο: \begin{equation*} \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{sin^2x}\right) \end{equation*}
\subsection*{Λύση}
Γραφουμε την παράσταση ως εξής: 
\begin{equation*}
\frac{1}{x^2}-\frac{1}{sin^2x}=\frac{sin^2-x^2}{x^2*sin^2x}
\end{equation*}
Αναπτύσσουμε το $\sin(x)$ σε σειρά \textlatin{Taylor} γύρω από το 0:
\begin{equation*}
\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots
\end{equation*}
και επομένως 
\begin{equation*}
sin^2x=\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots\right)^2=x^2-\frac{x^4}{3}+\cdots
\end{equation*}
Αρα:
\begin{equation*}
sin^2x-x^2=-\frac{x^4}{3}+\cdots
\end{equation*}
Οπότε η αρχική παράσταση γίνεται:
\begin{equation*}
\frac{-\frac{x^4}{3}+\cdots}{x^2\left(x^2-\frac{x^4}{3}+\cdots\right)}=
\frac{-\frac{x^4}{3}+\cdots}{x^4+\cdots}
\end{equation*}
Καθώς $x\to0$,τα υψηλότερης τάξης μέλη τείνουν στο 0 και έτσι εν τέλει έχουμε ότι:
\begin{equation*}
\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{sin^2x}\right)=-\frac{1}{3}
\end{equation*}
\end{document}
 
 
