Η συμβολή της Γραμμικής Άλγεβρας στην Επεξεργασία Εικόνας:
Θεωρία και Εφαρμογές του Μετασχηματισμού SVD

Περίληψη

Η εργασία διερευνά τη συμβολή της Αποσύνθεσης Κατά Ιδιάζουσες Τιμές (SVD) στην επεξεργασία εικόνας. Αναλύεται η μαθηματική θεμελίωση μέσω γραμμικής άλγεβρας και παρουσιάζεται παράδειγμα εφαρμογής με αξιολόγηση σφάλματος Frobenius.

1. Εισαγωγή

Η SVD αποτελεί θεμελιώδες εργαλείο γραμμικής άλγεβρας με εφαρμογές στη συμπίεση, αποθορυβοποίηση και ανάλυση εικόνων. Παρέχει δυνατότητα ανάλυσης της πληροφορίας με βάση την ενέργεια που συγκεντρώνεται στις ιδιάζουσες τιμές ενός πίνακα.

2. Βιβλιογραφική Ανασκόπηση

Ο SVD παρουσιάστηκε θεωρητικά από Eckart και Young και πρακτικά υπολογίστηκε από Golub & Reinsch (1965). Οι Andrews & Patterson (1976) τον εφάρμοσαν στην συμπίεση εικόνας, ενώ οι Turk & Pentland (1991) τον εισήγαγαν στην αναγνώριση προσώπων. Οι Elad & Aharon (2006) πρότειναν SVD για αποθορυβοποίηση, ενώ οι Halko et al. (2011) παρουσίασαν στοχαστικές παραλλαγές για μεγάλους πίνακες.

3. Προτεινόμενη Μέθοδος

Ο SVD αποσυνθέτει έναν πίνακα $M \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ως:

Με:

• $U$: ορθοκανονικός πίνακας $m \times m$
• $\Sigma$: διαγώνιος $m \times n$ με ιδιάζουσες τιμές
• $V^*$: συζυγής ανάστροφος του $V$, ορθοκανονικός

4. Θεωρητικό Παράδειγμα Εφαρμογής

Έστω:

$$ M = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\\\ 2 & 2 \\\\ 1 & 3 \end{bmatrix} $$

Η αποσύνθεση SVD δίνει κατά προσέγγιση:

$$ U \approx \begin{bmatrix} -0.50 & 0.70 & 0.51 \\\\ -0.57 & -0.04 & -0.82 \\\\ -0.65 & -0.72 & 0.26 \end{bmatrix}, \\ \Sigma \approx \begin{bmatrix} 4.91 & 0 \\\\ 0 & 1.41 \\\\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \\ V^* \approx \begin{bmatrix} -0.57 & -0.82 \\\\ -0.82 & 0.57 \end{bmatrix} $$

Προσέγγιση 1ης τάξης:

$$ M_1 = \sigma_1 u_1 v_1^* = 4.91 \cdot \begin{bmatrix} -0.50 \\\\ -0.57 \\\\ -0.65 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -0.57 & -0.82 \end{bmatrix} $$

$$ M_1 = \begin{bmatrix} 1.40 & 2.01 \\\\ 1.60 & 2.30 \\\\ 1.82 & 2.63 \end{bmatrix} $$

Σφάλμα Frobenius:

$$ \\|M - M_1\\|_F = \sqrt{\sigma_2^2} = \sqrt{1.41^2} = 1.41 $$

5. Αποτελέσματα και Ανάλυση

Η προσέγγιση $M_1$ διατηρεί την κύρια πληροφορία της εικόνας με χαμηλό σφάλμα. Με περισσότερους όρους η προσέγγιση βελτιώνεται.

6. Συμπεράσματα

Η SVD αποτελεί ισχυρό εργαλείο επεξεργασίας εικόνας, με μαθηματική σταθερότητα και δυνατότητα συμπίεσης χωρίς σημαντική απώλεια πληροφορίας.

Βιβλιογραφία

• Golub & Reinsch (1965), Numerische Mathematik
• Andrews & Patterson (1976), IEEE Transactions on Communications
• Turk & Pentland (1991), Journal of Cognitive Neuroscience
• Elad & Aharon (2006), IEEE Trans. Image Processing
• Halko et al. (2011), SIAM Review
• Strang (1993), Introduction to Linear Algebra