\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[LGR]{fontenc}
\usepackage[greek]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}

\pgfplotsset{compat=1.15}

\geometry{a4paper, margin=2.5cm}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\rhead{Μαθηματικά Λύκειο}
\lhead{5 Ασκήσεις}
\rfoot{Σελίδα \thepage}

\title{5 Ασκήσεις Μαθηματικών με Λύσεις}
\author{Ζωή Κονόμα}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{empty}

\section*{Άσκηση 1 – Επίλυση Εξίσωσης}

Να λυθεί η εξίσωση:
\[
3x - 5 = 7x + 3
\]

\textbf{Λύση:}
\begin{align*}
3x - 5 &= 7x + 3 \\
-5 - 3 &= 7x - 3x \\
-8 &= 4x \\
x &= -2
\end{align*}

---

\section*{Άσκηση 2 – Συνάρτηση και Γραφική Παράσταση}

Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)

\textbf{Λύση:} Πρόκειται για παραβολή με κορυφή στο \( x = 1 \), \( f(1) = 0 \)

\[
f(x) = (x - 1)^2
\]

\textbf{Γράφημα με TikZ:}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    axis lines = middle,
    xlabel = $x$, ylabel = {$f(x)$},
    grid = major,
    width=10cm,
    height=7cm,
    samples=100,
    domain=-1:3,
]
\addplot[blue, thick] {x^2 - 2*x + 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

---

\section*{Άσκηση 3 – Γεωμετρία Ισοσκελούς Τριγώνου (TikZ)}

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \( ABC \) με \( AB = AC \) και \( \angle A = 40^\circ \). Να βρεθούν οι άλλες γωνίες.

\textbf{Λύση:}  
Στο ισοσκελές τρίγωνο:
\[
\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ
\]

\textbf{Σχήμα με TikZ:}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (-2,3);
\coordinate (C) at (2,3);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) node[below] {A};
\draw (B) node[above left] {B};
\draw (C) node[above right] {C};
\end{tikzpicture}
\end{center}

---

\section*{Άσκηση 4 – Αναλογίες}

Αν \( \dfrac{x}{4} = \dfrac{6}{8} \), να βρεθεί το \( x \)

\textbf{Λύση:}
\[
x = \frac{6}{8} \cdot 4 = 3
\]

---

\section*{Άσκηση 5 – Κύκλος και Γωνία στην Περιφέρεια (TikZ)}

Να σχεδιάσετε έναν κύκλο και μια χορδή του, και να δείξετε ότι η γωνία στην περιφέρεια που βαίνει στη χορδή 
είναι η μισή της αντίστοιχης στο κέντρο.

\textbf{Λύση:}

Η γωνία στο κέντρο είναι \( \angle AOB \) και η γωνία στην περιφέρεια είναι \( \angle ACB \). Ισχύει:

\[
\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB
\]

\textbf{Σχήμα με TikZ:}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[thick] (0,0) circle(2);
\coordinate (A) at (150:2);
\coordinate (B) at (30:2);
\coordinate (C) at (270:2);
\draw[thick] (A) -- (B);
\draw[thick] (A) -- (C);
\draw[thick] (B) -- (C);
\draw[thick] (A) -- (0,0) -- (B);
\node at (0,0) [below] {O};
\node at (A) [left] {A};
\node at (B) [right] {B};
\node at (C) [below] {C};
\end{tikzpicture}
\end{center}

---

\end{document}
                            
