\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}
\section{Άσκηση νευρωνικού δικτύου}
Έστω ένα νευρωνικό δίκτυο με μία είσοδο $x$, ένα νευρώνα 
και μια έξοδο $y$. Η συνάρτηση ενεργοποίησης είναι η 
σιγμοειδης:
\begin{equation}
         \sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}
\end{equation}
Η έξοδος του νευρώνα είναι:
\begin{equation}
         y=\sigma(wx+b)
\end{equation}
όπου $w$ είναι το βάρος και $b$ η πόλωση. Δίνονται τα 
δεδομέα εκπαίδευσης του δικτύου:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
        $x$ & $y$ \\
\hline
        1 & 1 \\
\hline 
        0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Να βρεθούν οι τιμές των $w$ και $b$ που να ελαχιστοποιούν
το τετραγωνικό σφάλμα:
\begin{equation}
         E=\frac{1}{2} \sum_{i-1}^2 (y_i-\hat{y}_i)^2
\end{equation}
\section*{Λύση}
Αρχικά υπολογίζουμε την έξοδο του δικύου για κάθε δεδομένο εκπαίδευσης:
\begin{itemize}
        \item Για $x=1$ : $\hat{y}_1-\sigma(w+b)$
        \item Για $x=0$ : $\hat{y}_2-\sigma(b)$
\end{itemize}
Για να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα παίρνουμε τις μερικές παραγώγους του $E$ προς $w$ και $b$ και τις θέτουμε ίσες με μηδέν.
\begin{equation}
         \frac{\partial E}{\partial w}=0, \quad
         \frac{\partial E}{\partial b}=0
\end{equation}
Η επίλυση του συστήματος αυτού δίνει τις τιμές $w$, $b$ που ελαχιστοποιούν το σφάλμα. 
\end{document}
