\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}
\section{ολοκλο}
υπολογιστε
\begin{equation}
	\int_0^1 (x^2+1) \, dx
\end{equation}

\subsection*{λυση}
βρισκουμε το ολοκηρωμα της $x^2+1$:
\begin{equation}
	\int (x^2+1) \, dx 
	= \frac{x^3}{3}+x+C
	=\left[ \frac{x^3}{3} +x \right]_0^1
\end{equation}
αντικαθιστουμε τα ορια:
\begin{equation}
	\left( \frac{1^3}{3}+1 \right)
	-\left( \frac{0^3}{3}+0 \right)=
	\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}
\end{equation}
να βρεθουν οι τιμες $w$και $b$ που να ελαχιστοποιουν
\begin{equation}
	E=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 (y_i-\hat{y}_i)^2
	\end{equation}
	\section*{λυση}
	υπολογιζουμε την εξοδο του δυκτιου:
	\begin{itemize}
	\item για $x=1$ : $\hat{y}_1=\sigma(w+b)$
	\item για $x=0$ : $\hat{y}_2=\sigma(b)$
	\end{itemize}
	τετραγωνικο σφαλμα:
	\begin{equation}
	E=\frac{1}{2} \left[ 1 -\sigma(w+b)^2 + 
	(0 - \sigma(b))^2 \right]
	\end{equation}
	για ελαχιστοποιηση παραγωγου περμουμε μερικες παραγωγους του $E$ προς $w$ και $b$ και ισες με μηδεν. 
	
\begin{equation}
\frac{\partial E}{\partial w}=0, \quad
\frac{\partial E}{\partial b}=0
\end{equation}
η επιλυση δινει $w$, $b$.
\end{document}
