\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{tikz}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[greek]{babel}
\usepackage{geometry}
\geometry{margin=3cm}

\title{μαθηματικες ασκησεις και λυσεις}
\author{κωνσταντινα}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section*{ασκηση 1}
να λυθει:
\[
\int (3x^2 - 2x +1)\, dx
\]

\subsection*{Λυση}
\begin{align*}
\int (3x^2 -2x +1)\, dx &= \int 3x^2\, dx - \int 2x\, dx + \int 1\, dx\\
&= 3 \cdot \frac {x^3}{3} - 2 \cdot \frac {x^2}{2}+x+c\\
&= x^3 - x^2 +x+c
\end{align*}

\newpage

\section*{ασκηση 2}

να λυθει:

\[
\int_0^2 (4x - x^2)\, dx
\]

\subsection*{λυση}
\begin{align*}
\int (4x - x^2)\, dx &= 4 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 2x^2 - \frac{x^3}{3}\\
\left[2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 &= \left(2 \cdot 4 - \frac{8}{3}\right) - 0 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}
\end{align*}

\newpage

\section*{ασκηση 3}
δινεται ισοσκελες τριγωνο \( ABC \) με \( ΑΒ=ΒC\) και υψος απο την κορυφη \(Α\). να αποδειχθει οτι ειναι και διαμεσος


\section*{Λυση}

στο ισοσκελες τριγωνο, το υψος ειναι διαμεσος και διχοτομος. Αρα το σημειο \(BC\) ειναι μεσο της.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\coordinate[label=below left:B](B) at (0,0);
\coordinate[label=below right:C](C) at (6,0);
\coordinate[label=above:A](A) at (3,4);
\coordinate[label=below:M](M) at (3,0);

\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw[dashed] (A)--(M);
\filldraw[black] (M) circle (1pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\section*{ασκηση 4}
σε κυκλο με κεκντρο \( Ο\) και διαμετρο \(ΑΒ\), δινεται σημειο \(C\) πανω στον κυκλο
να δειξετε οτι το τριγωνο \(ABC\) ειναι ορθογωνιο στο \(C\).

\subsection*{λυση}
συμφωνα με το θεωρημα του θαλη, ενα τριγωνο ειναι εγγεγραμμενο
 σε κυκλο και εχει διαμετρο ως προς μια πλευρα του , τοτε ειναι ορθογωνιο 
 στην απεναντι κορυφη.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw(0,0) circle(3);
\coordinate[label=left:A](A) at (-3,0);
\coordinate[label=right:B](B) at (3,0);
\coordinate[label=above:C](C) at (0,2.84);
\coordinate[label=below:O](O) at (0,0);


\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw[dashed] (A)--(B);
\draw[dashed] (B)--(C);
\filldraw[black] (O) circle (1pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\section*{λυση}
μια σακουλα εχει 5 κοκκινες 5 μπλε και 2 πρασινες μπαλες. Ποια η πιθανοτητα να επιλεχτει τυχαια μια μπλε η πρασινη μπαλα;
\subsection*{Λυση}

ο συνολικος αρθμος των μπαλων ειναι:
\[
5+3+2=10
\]
ο αριθμος των ευνοικων περιπτωσεων:
\[3+2=5\]
αρα η ζητουμενη πιθανοτητα ειναι:
\[
\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
\]
\end{document}
