\documentclaas[10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[LGR,T1]{fontenc}
\usepackage[greek,english]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{cite}
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper,margin=2.5cm}
\setlength{\parskip}{1em}
\setlength{\parindent}{0pt}


\title{Η χρήση της μεθόδου PCA στη Βιοτεχνολογία}
\author{Μαρία Ντάγγαλου}

\begin{document}
\selectlanguage{greek}

\maketitle

\begin{abstract}

Η ανάλυση Κύριων Συνιστωσών (Principal Component Analysis - PCA) αποτελεί θεμελιώδη τεχνική στατιστικής μείωσης διαστάσεων.Στην ερασία αυτή αναλύεται η χρήση της στη βιοτεχνολογία, με παραδείγματα εφαρμογών και μαθηματική τεκμηρίωση.
\end{abstract}

\section{Εισαγωγή}

Η PCA είναι μέθοδος που επιτρέπει την προβολή δεδομένων σε χώρο μικρότερης διάστασης,διατηρώντας τη μέγιστη δυνατή πληροφορία.Στη βιοτεχνολογία εφαρμόζεται ευρέυως στην ανάλυση δεδομένων υψηλής διαστατικότητας οπως στη γονιδιακή έκφραση.

\section{Βιβλιογραφική Ανασκόπηση}

Η μέθοδος PCA  παρουσιάστηκε αρχικά απο τον Pearson το 1901
\cite{Pearson1901} και επεκτάθηκε απο τον Hotelling \cite{Hotelling1933}.
Σήμερα χρησιμοποιείται ευρέυως σε πεδία όπως:

\begin{itemize}
	\item Ανάλυση RNA-seq \cite{RNAseqPCA}
	\item Ταξινόμηση δειγμάτων 
	\item Ανίχνευση βιοδεικτών \cite{BiomarkerPCA}
\end{itemize}
\section{Μαθηματική Περιγραφή}

Έστω \( X \in \mathbb{R}^{n \times p}\), πίνακας δεδομένων:

\begin{enumerate}
	\item Υπολογισμός μέσου όρου: \( \mu = \frac{1}{n} \sum X_i \)
	\item Κεντράρισμα: \( \tilde{X} = X - \mu \)
	\item Συνδιακύμανση: \( S = \frac{1}{n-1} \tilde{X}^T \tilde{X})
	\item Ιδιοδιάσπαση: \( S v = \lambda v \)
	\item Επιλογή των \( k \) κυρίων συνιστωσών: \( Z = \tilde{X} V_k \)
	\end{enumerate}

\subsection*{Παράδειγμα}

Έστω πίνακας γονιδιακής έκφρασης:

\begin{center}
\begin{tabular}{lccc}
\textbf{Δείγμα} & A & B & C \\
\hline

S1 & 2.1 & 5.1 & 1.1 \\
S2 & 2.4 & 4.9 & 1.0 \\
S3 & 2.8 & 5.3 & 1.5 \\

\end{tabular}
\end{center}

Η εφαρμογή PCA αποκαλύπτει ομάδες δειγμάτων με κοινά χαρακτηριστικά.

\section{Συμπεράσματα}

Η PCA είναι απαραίτητο εργαλείο στην ανάλυση πολύπλοκων βιολογικών δεδομένων.Δείχνει τη συνεισφορά των μαθηματικών στην κατανόηση της βιοτεχνολογικής πληροφορίας.

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{pca_refs}

\end{document} 


 
