\documentclass[10pt,twocolumn]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[LGR,T1]{fontenc}
\usepackage[greek,english]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{cite}
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper,total={7in,9.5in}}

\title{\textbf{Η χρήση της μεθόδου PCA στη Βιοτεχνολογία}}
\author{Μαρία Ντάγγαλου}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
Η Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών (Principal Component Analysis - PCA) αποτελεί μια απο τις πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες τεχνικές μείωσης διαστάσεων.Στην εργασία αυτή εξετάζεται η χρήση της PCA σε εφαρμογές της βιοτεχνολογίας, με έμφαση στην ανάλυση γονιδιακής έκφρασης και δεδομένων από μεθόδους αλληλούχισης.
\end{abstract}

\section{Εισαγωγή}

Η μέθοδος PCA είναι μία τεχνική στατιστικής ανάλυσης που χρησιμοποιείται για να μειώσει τη διάσταση δεδομένων, διατηρώντας όσο το δυνατόν περισσότερη πληροφορία.Η εφαρμογή της στη βιοτεχνολογία έχει καταστεί ιδιαίτερα σημαντική, ιδίως στην ανάλυση δεδομένων υψηλής διαστατικότητας όπως αυτά που βπροκύπτουν απο τεχνολογίες NGS(Next-Generation Sequencing) ή μικροσυστοιχίες.
Στόχος της παρούσας εργασίας είναι να παρουσιαστεί συνοπτικά η μέθοδος PCA , η εφαρμογή της στον βιοτεχνολογικό χώρο, καθώς και ένα θεωρητικό παράδειγμα.

\section{Βιβλιογραφική Ανασκόπιση}

Η PCA εισήχθη από τον Karl Pearson το 1901 \cite{Pearson1901}, και επεκττάθηκε από τον Harold Hotelling τη δεκαετία του 1930 \cite{Hotelling1933}. Η μέθοδος έχει χρησιμοποιηθεί σε ευρύ φάσμα επιστημών, από την ανάλυση της εικόνας έως την οικονομία.

Στη βιοτεχνολογία, χρησιμοποιείται για την οπτικοποίηση και ταξινόμηση δειγμάτων, όπως στην ανάλυση RNA-seq \cite{RNAseqPCA}, στον εντοπισμό βιοδεικτών \cite{BiomarketPCA}, ή στην διαφοροποίηση κυτταρικών πληθυσμών σε single-cell δεδομένα \cite{SCpca}

\section{Μαθηματική Περιγραφή της Μεθόδου}

Έστω ότι έχουμε ένα σύνολο δεδομένων \(X\in \mathbb{R}^{n \times p}\) ,όπου \(n \) δείγματα και \(p\) μεταβλητές. Η μέθοδος PCA περιλαμβάνει:

\begin{enumerate}
	\item{Κεντράρισμα των δεδομένων}
	\[
	\tilde{X} = x - \mu, \quad \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
	\]
	\item{Υπολογισμό του πίνακα συνδιακύμανσης:}
	\[
	S = \frac{1}{n-1} \tilde{X}^T \tilde{X}
	\]
	\item{Ιδιοδιάσπαση του \(S \):Εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων}
	\[
	S v_i = \lambda_i v_i
	\]
	\item{Επιλογή των πρώτων \(k \) ιδιοδιανυσμάτων \( V_K \), ώστε η προβολή είναι:}
	\[
	Z = \tilde{X} V_k
	\]
	\end{enumerate}

	\subsection*{Θεωρητικό Παράδειγμα}
	Έστω δεδομένα γονιδιακής έκφρασης από 100 δείγματα με 1000 γονίδια.Η εφαρμογή PCA επιτρέπει την προβολή των δεδομένων σε επίπεδο 2 διαστάσεων, όπου τα δείγματα διαχωρίζονται σε π.χ. σε ασθενείς και υγιείς, αποκαλύπτοντας υποκέιμενες δομές.

	\section{Συμπεράσματα}
	Η PCA είναι ένα ισχυρό εργαλείο στην ανάλυση βιοτεχνολογικών δεδομένων.Επιτρέπει τη μείωση της διαστατικότητας, διατηρώντας σημαντική πληροφορία, διευκολύνοντας την ερμηνεία πολύπλοκων δεδομένων.Η ευρεία εφαρμογή της στην βιοτεχνολογία αποδεικνύει τη συνεισφορά των μαθηματικών εργαλειών σε επιστημονοικά πεδία αιχμής.

	
	\bibliographystyle{plain}
	\bibliography{pca_refs}

	\end{document}

