\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%Ορίζει το έγγρφαφο ως άρθρο μεγέθους Α4 με γραμματοσειρά 12pt
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[greek,english]{babel}
\usepackage{alphabeta}
%Υποστήριξη για ελληνικά και αγγλικά με σωστή κωδικοποίηση.
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%Πακέτα που παρέχουν προχωρημένες μαιηματικές εντολές,σύμβολα και δομές(cares,align κλπ)

\title{Ασκήσεις}
\author{ma12625}
%Τίτλος του εγγράφου και συγγραφέας
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Άσκηση 1 - Διαφορικές Εξισώσεις}
%Ορίζει την πρώτη άσκηση χωρίς αρίθμηση
$$
\mu(x)=e^{\int \tan x \, dx}=\frac{1}{\cos x} \notag
$$
%Ορίζεται ο ολοκληρωτικός παράγοντας για διαφορική εξίσωση και υπολογιζεται το ολοκλήρωμα.
Πολλαπλασιάζουμε:
$$
\frac{d}{dx} \left(\frac{y}{\cos x} \right)=\tan x
\Rightarrow \frac{y}{\cos x}= \int \tan x\, dx = -\ln|\cos x|+c
$$
%Εφαρμόζεται το γινόμενο του παραγώγου με τον ολοκληρωτικό παράγοντα 
%Λύνεται η εξίσωση με ολοκλήρωση.
\begin{equation}
\frac{x^2}{(x+1)^3} = \frac{A}{x+1}+\cdots+\frac{C}{(x+1)^3}
\label{eq:1}
\end{equation}
%Εκφράζεται ενα ρητό κλάσμα με παρονομαστή (x+1)^3 ως άθροισμα μερικών κλασμάτων
%Χρησιμοποιείται η μέθοδος της μερικής κλασματικής ανάλυσης.
Με βάση την εξίσωση~\ref{eq:1}.
\begin{equation}
	\begin{cases}
		A=1 \\
		2A+B=0 \Rightarrow 2+B=0 \Rightarrow B=-2 \\
		A+B+C=0 \Rightarrow 1-2+C=0 \Rightarrow C=1
	\end{cases}
\end{equation}
%Λύνονται τα συστήματα εξισώσεων για τους αγνώστους Α,Β,C
\begin{align}
	A(x+1)^2 &= A(x^2 +2x +1)=Ax^2+2Ax+A \notag \\
	B(x+1) &= Bx+B \\
	\Rightarrow x^2 &= Ax^2 + (2A+B) x + (A +B +C) \notag
\end{align}
%Αναπτύσσεται το άθροισμα για να ταιριάξει με το αρχικό κλάσμα.
%Βρίσκονται οι συντελεστές με σύγκριση όρων.
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x -x\sin x -1}{x^4}
%Υπολογίζεται ενα όριο με χρήση ανάπτυξης σε σειρές Taylor ή κανόνες De L'Hospital
$$
$$
\int_{a=1}^{n}
$$
\end{document}

%Πιθανή εκφώνηση:
%1.Λύστε τη διαφορίκη εξίσωση με χρήση ολοκληρώτικου παράγοντα.
%2.Αναλύστε το ρητό κλάσμα σε άθροισμα μερικών κλασμάτων σε άθροισμα μερικών κλασμάτων της μορφής(δίνεται).
%3.Υπολογίστε το όριο.
%4.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα 
