\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}
\section{Ασκηση νευρωνικου δικτιου}
Εστω ενα νευρωνικο δικτυο με μια εισοδο $x$, ενα νευρωνικο δικτυο και μια εξοδο $y$.Η συναρτηση ενεργοποιησης ειναι η σιγμοειδης:
\begin{equation}
       \sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}
\end{equation}
Η εξοδος του νευρωνα ειναι:
\begin{equation}
        y=\sigma(wx+b)
\end{equation}
οπου $w$ ειναι το βαρος και $b$ η πολωση.Δινονται τα δεδομενα εκπαιδευσης του δικτυου:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
        $x$ & $y$ \\
\hline 
        $1$ & $1$ \\
\hline
       $0$ & $0$ \\
       
\hline       

\end{tabular}
\end{center}
Να βρεθουν οι τιμες των $w$ και $b$ που να ελαχιστοποιουν το τετραγωνικο σφαλμα:
\begin{equation}
        E=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 (y_i-\hat{y}_i)^2
\end{equation}
\section*{Λυση}
Αρχικα υπολογιζουμε την εξοδο του δικτυου για καθε δεδομενο εκπαιδευσης:
\begin{itemize}
         \item για $x=1$ : $\hat{y}_1=\sigma(w+b)$
         \item για $x=0$ : $\hat{y}_2=\sigma(b)$
\end{itemize}
Στη συνεχεια υπολογιζουμε το τετραγωνικο σφαλμα:
\begin{equation}
        E=\frac{1}{2} \left[1-\sigma(w+b)^2 +(0 - \sigma(b)^2 \right]
\end{equation}

Για να ελαχιστοποιησουμε το σφαλμα παίρνουμε τις μερικές παραγώγους του $E$ προς $w$ και τις θέτουμε ίσες με το μηδέν.
\begin{equation}
\frac{\partial E}{\partial w}=0, \quad
\frac{\partial E}{\partial b}=0
\end{equation}
Η επίλυση του συστήματος αυτού μας δίνει τις $w$ τιμές, $b$ που ελαχιστοποιούν το σφαλμα.
                                                               
\end{document}
