\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{asmath}

\begin{document}
\section{Άσκηση νευρωνικού δικτύου}

Έστω ένα νευρωνικό δικτύο με μια είσοδο $x$, ένα νευρώνα
και μία έξοδο $y$.Η συνάρτηση ενεργοποίησης είναι η σιγμοείδης:
\begin{equation}
	\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}
\end{equation}
όπου $w$ είναι το βάρος και $b$ η πώληση.
Δίνονται τα δεδομένα του δικτύου:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
	$x$ & &y& \\
\hline
	1 $ 1 \\
\hline
	0 & 0 \\
\end{tabular}
\end{center}
Να βρεθούν οι τιμές των $w$ και $b$ που να ελαχιστοποιούν το τετραγωνικό σφάλμα:
\begin{equation}
	E=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 {y_i-\hat{y}_i)^2
\end{equation}
\section*{Λύση}
Αρχικά υπολογίζουμε την έξοδο του δικτύου για κάθε δεδομένο εκπαίδευσης
\begin{itemize}
	\item Για $x=1$ : $\hat{y}_1=/sigma(w+b)$
	\item Για $x=0$ : $\hat{y}_2=/sigma(b) $
\end{itemize}
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το τετραγωνικό σφάλμα:
\begin{equation}
	E =\frac{1}{2} left[ 1 - \sigma(w+b)^2 + 
	(0 - \sigma(b))^2 \right]
\end{equation}
Για να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα παίρνουμε τις μερικές παραγώγους του $Ε$ προς $w$ k $b$ 
