\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}
\section{Άσκηση νευρωνικού δικτύου}
Έστω ένα νευρωνικό δίκτυο με μία είσοδο $x$, ένα νευρώνα
και μία έξοδο $y$. Η συνάρτηση ενέργοποίησης είναι η 
σιγμοειδής:
\begin{equation}
	\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}
\end{equation}
Η έξοδος του νευρώνα είναι:
\begin{equation}
	y=\sigma(wx+b)
\end{equation}
όπου $w$ είναι το βάρος kai $b$ η πόλωση. Δίνονται τα 
δεδομένα εκπαίδευσης του δικτύου:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
	$x$ & $y$ \\
\hline
	1 & 1 \\
\hline  
	0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Να βρεθούν οι τιμές των $w$ και $b$ που να ελαχιστοποιούν
το τετραγωνικό σφάλμα:
\begin{equation}
	E=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 (y_i-\hat{y}_i)^2
\end{equation}
\section*{Λύση}
Αρχικά υπολογίζουμε την έξοδο του δικτύου για κάθε δεδομένο εκπαίδευσης:
\begin{itemize}
	\item Για $x=1$ : $\hat{y}_1=\sigma(w+b)$
	\item Για $x=0$ : $\hat{y}_2=\sigma(b)$
\end{itemize}
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το τετραγωνικό σφάλμα:
\begin{equation}
	E=\frac{1}{2} \left[ 1 -\sigma(w+b)^2 + 
	  (0 - \sigma(b))^2 \right]
\end{equation}
Για να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα παίρνουμε τις μερικές
παραγώτους του $E$ προς $w$ κ $b$ και τις θέτουμε ίσες 
με μηδέν.
\begin{equation}
	\frac{\partial E}{\partial w}=0, \quad
	\frac{\partial E}{\partial b}=0
\end{equation}
H επίλυση του συστήματος αυτού δίνει τις τιμές $w$, $b$
που ελαχιστοποιούν το σφάλμα.
\end{document}
