\documentclass[a4paper,twocolumn,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{caption}
\usepackage{geometry}
\geometry{margin=2cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{float}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{cite}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{PCA στη Βιοτεχνολογία}
\fancyhead[R]{Μοτίβα Καταναλωτικής Συμπεριφοράς}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\title{Η χρήση της μεθόδου PCA στη Βιοτεχνολογία \\ για την Αναγνώριση Μοτίβων Καταναλωτικής Συμπεριφοράς}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\begin{abstract}
Παρουσιάζεται η PCA ως εργαλείο μείωσης διάστασης και αναγνώρισης μοτίβων σε βιοτεχνολογικά δεδομένα καταναλωτών. Περιλαμβάνονται θεωρία, μαθηματικό υπόβαθρο, εφαρμογές και οπτικοποιήσεις.
\end{abstract}

\section{Εισαγωγή}

Η Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών (PCA – Principal Component Analysis) είναι ένα ισχυρό στατιστικό εργαλείο που χρησιμοποιείται για τη μείωση της διαστασιμότητας και την ερμηνεία πολύπλοκων πολυμεταβλητών δεδομένων. Η ανάγκη για τέτοιες μεθόδους έχει αυξηθεί κατακόρυφα λόγω της ραγδαίας αύξησης της υπολογιστικής ισχύος και της διαθεσιμότητας μεγάλων συνόλων δεδομένων, ιδιαίτερα σε τομείς όπως η βιοτεχνολογία, η διατροφή και η έρευνα αγοράς.

Η μέθοδος PCA βοηθά στην απλοποίηση των δεδομένων με τη μετασχηματιστική τους προβολή σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων, διατηρώντας τις διαστάσεις που εξηγούν τη μέγιστη διασπορά. Είναι ένα θεμέλιο για πολυδιάστατες αναλύσεις, χαρτογράφηση πληθυσμών, γενετική διαφοροποίηση, ανάλυση προτιμήσεων και πολλά άλλα.

\section{Ιστορικό και Μαθηματικό Υπόβαθρο}

Η PCA εισήχθη από τον Pearson (1901) και επεκτάθηκε από τον Hotelling (1933) \cite{Pearson1901,Hotelling1933}. Αποτελεί τμήμα της φασματικής ανάλυσης, εστιάζοντας στις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα συνδιακύμανσης.

Ας θεωρήσουμε ένα κεντραρισμένο σύνολο δεδομένων $\tilde{X} \in \mathbb{R}^{n \times p}$:

\begin{equation}
\tilde{X} = X - \mathbf{1}\mu^T,
\end{equation}

όπου $\mu$ είναι το διάνυσμα μέσων τιμών κάθε στήλης και $\mathbf{1}$ είναι διάνυσμα με όλα τα στοιχεία ίσα με 1. Ο πίνακας συνδιακύμανσης είναι:

\begin{equation}
\Sigma = \frac{1}{n-1} \tilde{X}^T \tilde{X}.
\end{equation}

Η φασματική ανάλυση δίνει:

\begin{equation}
\Sigma v_i = \lambda_i v_i,
\end{equation}

όπου $v_i$ τα ιδιοδιανύσματα και $\lambda_i$ οι ιδιοτιμές. Οι κύριες συνιστώσες είναι οι γραμμικοί συνδυασμοί:

\begin{equation}
t_i = \tilde{X} v_i.
\end{equation}

Οι ιδιοτιμές εκφράζουν την ποσότητα διασποράς που εξηγεί κάθε συνιστώσα.

\section{Οπτικοποιήσεις PCA}

\subsection*{Scree Plot}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=0.45\textwidth,
height=5cm,
xlabel={Συνιστώσα},
ylabel={Ποσοστό Διασποράς (\%)},
xtick={1,2,3,4,5},
ymin=0, ymax=60,
ybar,
bar width=15pt,
enlarge x limits=0.2
]
\addplot+[fill=blue] coordinates {(1,40) (2,25) (3,15) (4,10) (5,5)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Scree plot: Εξήγηση διασποράς ανά συνιστώσα.}
\end{figure}
\subsection*{ Bigplot (2D)}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[
		width=0.45\textwidth,
		height=5cm,
		axis lines=middle,
                xlabel={PC1},
                ylabel={PC2},
                xmin=-3, xmax=3,
                ymin=-3, ymax=3,
                grid=both,
                enlargelimits=true
                ]
                \addplot+[only marks, mark=*] coordinates {(-1.5,1) (0.5,0.2) (1.8,-1.2) (-2,-1.5) (2.2,2.3)};
                \addplot+[->, thick, red] coordinates {(0,0)(1.5,1)};
                \addplot+[->, thick, red] coordinates {(0,0)(-1.2,1.3)};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Biplot: Προβολή παρατηρήσεων και μεταβλητών.}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
	width=0.45\textwidth,
	height=5cm,
        axis lines=middle,
        xlabel={PC1 Loadings},
        ylabel={PC2 Loadings},
        xmin=-1.5, xmax=1.5,
        ymin=-1.5, ymax=1.5,
        grid=both,
        enlargelimits=true,
        legend pos=north east,
        ]
        \addplot+[->, thick, blue] coordinates {(0,0) (1,0.7)};
        \addplot+[->, thick, blue] coordinates {(0,0) (-1,0.8)};
        \addplot+[->, thick, blue] coordinates {(0,0) (0.6,-1)};
        \addplot+[->, thick, blue] coordinates {(0,0) (-0.7,-0.6)};
        \node at (axis cs:1,0.7) [anchor=west] {Var1};
        \node at (axis cs:-1,0.8) [anchor=east] {Var2};
        \node at (axis cs:0.6,-1) [anchor=north] {Var3};
        \node at (axis cs:-0.7,-0.6) [anchor=north east] {Var4};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Loading plot: Επίδραση μεταβλητών στις κύριες συνιστώσες}
\end{figure}
\section{Εφαρμογές στη Βιοτεχνολογία}
Η PCA χρησιμοποιείται ευρέως στη βιοτεχνολογία για την αποκάλυψη υποκείμενων δομών και μοτίβων σε δεδομένα υψηλής διάστασης. Οι παρακάτω υποπεριπτώσεις αναδεικνύουν την ευελιξία και χρηστικότητα της μεθόδου.
\subsection*{1. Μεταβολομική Ανάλυση Φυτικών Προϊόντων}
Σε πειράματα που αφορούν την ανάλυση μεταβολιτών σε καρπούς ντομάτας υπό διαφορετικές γεωργικές και βακτηριακές επεξεργασίες, συλλέγονται δεδομένα από
GC-MS/LC-MS με εκατοντάδες μεταβολίτες.Η PCA χρησιμοποιείται για να εντοπιστούν οι κύριες διακυμάνσεις. Οι πρώτες δύο PCs αποκαλύπτουν σαφή διαχωρισμό
μεταξύ καλλιεργειών με και χωρίς παθογόνα. Ο Biplot δείχνει υψηλό φορτίο σε οργανικά οξέα όπως κιτρικό και μηλικό οξύ — βασικά συστατικά στη γεύση και την 
ωρίμανση.Η οπτική διαφοροποίηση επιτρέπει την ταυτοποίηση κρίσιμων βιοδεικτών που σχετίζονται με την ποιότητα τροφίμων και τις αντιδράσεις άμυνας.

\subsection*{2. Ανάλυση Μικροβιακών Κοινοτήτων σε Βιοαντιδραστήρες}
Η μικροβιακή ποικιλομορφία σε βιοαντιδραστήρες, όπως αυτοί που χρησιμοποιούνται για ζύμωση ή καθαρισμό νερού, καταγράφεται με μεταβλητές όπως συγκέντρωση
$\text{NH}_4^+$, pH, οξυγόνο και απορροφητικότητα. Με χρήση 16S rRNA sequencing, συλλέγονται δεδομένα από διαφορετικά γένη μικροοργανισμών. Η PCA επιτρέπει τη μείωση 
των 50+ μεταβλητών σε 2-3 PCs, αναδεικνύοντας λειτουργικές ομάδες βακτηρίων που σχετίζονται με τις φυσικοχημικές παραμέτρους του αντιδραστήρα. Παρατηρείται
ότι ομάδες μικροοργανισμών διαχωρίζονται κατά μήκος του PC1, που σχετίζεται με τη θερμοκρασία και το pH. Αυτό επιτρέπει στους βιομηχανικούς βιολόγους να
 ρυθμίζουν κατάλληλα τις συνθήκες για βέλτιστη παραγωγή ή αποικοδόμηση.

\subsection*{3. Ανάλυση Διατροφικών Μοτίβων Καταναλωτών}
Σε πληθυσμιακές μελέτες καταναλωτικής συμπεριφοράς, η PCA εφαρμόζεται σε ερωτηματολόγια διατροφικών συνηθειών (FFQ). Οι μεταβλητές περιλαμβάνουν συχνότητα κατανάλωσης τροφών όπως επεξεργασμένα κρέατα, λαχανικά, ζάχαρη, ψάρια, αναψυκτικά, και αλκοόλ.

Η PCA αποκαλύπτει κύρια διατροφικά μοτίβα. Το πρώτο PC συνδέεται με “δυτικό” διατροφικό πρότυπο (υψηλή κατανάλωση επεξεργασμένων και ζάχαρης), ενώ το δεύτερο με “μεσογειακό” (υψηλή σε ψάρια, φρούτα, ελαιόλαδο). Η κατανομή των συμμετεχόντων στους άξονες δείχνει την επίδραση κοινωνικών μεταβλητών, όπως εισόδημα ή μόρφωση.
Οι αναλύσεις αυτές συνδράμουν στην ανάπτυξη δημόσιων πολιτικών για βελτίωση της διατροφής και πρόληψη ασθενειών.

\subsection*{4. Οργανοληπτική Αξιολόγηση Τροφίμων}
Κατά τη γευσιγνωσία τροφίμων (όπως κρασιά, γιαούρτια ή σοκολάτες), η PCA χρησιμοποιείται για την ανάλυση αισθητικών χαρακτηριστικών: οσμή, υφή, γεύση, οξύτητα, ισορροπία, επίγευση, κ.ά.
Η PCA διευκολύνει την κατηγοριοποίηση των δειγμάτων σε ομάδες ποιότητας και γευστικού προφίλ. Στο Biplot, τα δείγματα συγκεντρώνονται ανάλογα με τις αισθητικές τους ομοιότητες, ενώ οι μεταβλητές προβάλλονται με διανύσματα που δείχνουν τη συμβολή τους.
Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για εταιρείες τροφίμων στην ανάπτυξη προϊόντων και στη στόχευση συγκεκριμένων προτιμήσεων καταναλωτών.

\subsection*{5. Συνδυαστική Ανάλυση Περιβαλλοντικών και Γονιδιωματικών Δεδομένων}
Η σύγχρονη βιοτεχνολογία συνδυάζει συχνά δεδομένα πολλαπλών πηγών — όπως γονιδιακή έκφραση (RNA-seq), μετεωρολογικά δεδομένα, ή χημικά προφίλ. 
Η PCA επιτρέπει την εξερεύνηση της συνολικής δομής δεδομένων και εντοπίζει τα κυρίαρχα πρότυπα συσχέτισης μεταξύ π.χ. περιβαλλοντικής έκθεσης και μοτίβων έκφρασης γονιδίων.
Στην πράξη, αυτό μπορεί να οδηγήσει στον εντοπισμό περιβαλλοντικών στρεσογόνων παραγόντων που επηρεάζουν την έκφραση γονιδίων φυτών ή ζώων.

\section{Συμπεράσματα}
Η PCA παρέχει μία μαθηματικά εδραιωμένη και πρακτικά ισχυρή μεθοδολογία για την κατανόηση πολυμεταβλητών δεδομένων. Στη βιοτεχνολογία, επιτρέπει τη συστηματική διερεύνηση προτύπων που διαφορετικά θα ήταν δύσκολο να εντοπιστούν. Μέσω των γραφικών παραστάσεων (scree plots και biplots), επιτυγχάνεται ερμηνεία και επικοινωνία των αποτελεσμάτων με ακρίβεια και σαφήνεια. Η συνδυαστική χρήση της με άλλες μεθόδους, όπως η ταξινόμηση ή η συσταδοποίηση, ενισχύει περαιτέρω τη σημασία της στην ανάλυση δεδομένων.
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{Pearson1901} K. Pearson, "On lines and planes of closest fit to systems of points in space", \textit{Philosophical Magazine}, 1901.
\bibitem{Hotelling1933} H. Hotelling, "Analysis of a complex of statistical variables", \textit{J. Educ. Psychol.}, 1933.
\bibitem{Jolliffe2016} I. T. Jolliffe, J. Cadima, "Principal component analysis: a review", \textit{Phil. Trans. R. Soc. A}, 2016.
\bibitem{Trygg2007} J. Trygg, E. Holmes, "Chemometrics in metabonomics", \textit{Journal of Proteome Research}, 2007.
\bibitem{Lozupone2007} C. Lozupone, R. Knight, "Global patterns in bacterial diversity", \textit{PNAS}, 2007.
\bibitem{Hu2002} F. Hu, "Dietary pattern analysis", \textit{Current Opinion in Lipidology}, 2002.
\bibitem{Stone2012} H. Stone, J. Sidel, \textit{Sensory Evaluation Practices}, Elsevier, 2012.
\bibitem{LeCao2011} K. A. Lê Cao et al., "Integrative omics: PCA and PLS approaches", \textit{Bioinformatics}, 2011.
\bibitem{Green2010} P. Green, V. Rao, "Multivariate strategies in marketing", \textit{Journal of Marketing}, 2010.
\bibitem{Jackson2008} R. Jackson, \textit{Wine Science: Principles and Applications}, Academic Press, 2008.
\end{thebibliography}
\end{document}
