Άσκηση 1 : Δίνεται ορθογώνιο τριγωνο ABC με $AB=3$, $AC=$.Να βρεθούν η υποτείνουσα και το εμβαδόν του τριγώνου.

Από το Πυθαγώρειο Θεώρημα :

\begin{equation} BC=\sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 +4^2}= \sqrt{25}=5 \end{equation} Άρα $BC=5$. Το εμβαδόν είναι : \begin{equation} E= \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \end{equation}

Άσκηση 2 : Να υπολογιστούν το όριο , η συνέχεια , η παράγωγος , τα ακρότατα και η φραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = x^3 -3x$

Το όριο στο μηδέν

\begin{equation} \lim_{x \to 0} f(x)= \lim_{x \to 0} (x^3 -3x)=0 \end{equation}

Η συνάρτηση είναι πολυωνιμική , άρα συνεχής παντού.

Η παράγωγος είναι: \begin{equation} f'(x)= 3x^2 -3 \end{equation} Θέτουμε $f'(x)=0$ : \begin{equation} 3x^2 -3=0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \end{equation}

Αυτά είναι τα κρίσιμα σημεία . Εξετάζοντας το πρόσημο της παραγώγου , προκύπτει :

-Στο $x = -1$ , τοπικό μέγιστο. -Στο $x = 1$ , τοπικό ελάχιστο.

Η γραφική παράσταση είναι η χαρακτηριστικέ καμπύλη της $x^3 - 3x$.

Άσκηση 3: λύσε τη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης : $y'' - y =0$

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι :

\begin{equation} r^2 -1 =0 \Rightarrow r=\pm 1 \end{equation} Άρα η γενική λύση είναι : \begin{equaion} y(x)= c_1 e^x _ c_2 e^{-x} \end{equation}

< Άσκηση 5:Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα $f(x) = x^3 -2x +1 $ στο δίαστημα $[1,2]$.

γράφουμε το ολοκλήρωμα :

\begin{equation} I= \int_1^2 (2x^3 - 3x^2 +x) \, dx \end{equation}

Υπολογίζουμε το αρχικό της συνάρτησης $f(x)$:

\begin{equation} F(x)= \int (2x^3 - 3x^2 +x) \, dx = \frac{3x^3}{3} + \frac{x^2}{2} +c = \frac{x^4}{2} - x^3 + \frac{x^2}{2} +c \end{equation}

Εφαρμόζουμε το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού :

\begin{equation} I= F(2) - F(1) = \left( \frac{2^4}{2}- 2^3 + \frac{2^2}{2} \right) -\left(\frac{1^4}{2} - 1^3 + \frac{1^2}{2} \right) \end{equation}

Υπολογίζουμε αριθμητικά :

\begin{equation} F(2)= \frac{16}{2} -8 + \frac{4}{2}= 8-8 +2 = 2 \end{equation} \begin{equation} F(1)= \frac{1}{2} -1 + \frac{1}{2}= 0.5 -1 +0.5 = 0 'Αρα , Ι = 2-0 =2 \end{equation}

Επομένως το ολοκλήρωμα της συνάρτησης $f(x)$ απο το 1 εως το 2 είναι ίσο με 2/p>