\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{alphabeta}


\begin{document}
\section{Άσκηση σε νευρωνικού δικτύου}
Έστωενα νευρωνικό δίκτυο με μια είσοδο $x$, ένα νευρώνα και μια έξοδο $y$. Η συνάρτηση ενέργοποιησης είναι η σιγμοειδης:
\begin{equation}
	\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}
\end{equation}
Η έξοδος του νευρώνα είναι:
\begin{equation}
	y=\sigma(wx+b)
\end{equation}
Όπου $w$ ειναι το βάρος και $b$  η πόλωση.Δινονται τα δεδομενα εκπαιδευσης του δικτυου¨
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
	$x$ & $y$ \\
\hline
	1 & 1 \\
\hline
	0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Να βρεθουν οι τιμες των $w$ και $b$ που να ελαχιστοποιουν το τετραγωνικο σφαλμα ¨
\begin{equation}
	E=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 (y_i-\hat{y}_i)^2
\end{equation} 
\section*{Λυση}
Αρχικα υπολογιζουμε την εξοδο του δικτυου για καθε δεδομενο εκπαιδευσης:
\begin{itemize}
	\item Για $x=1$ : $\hat{y}_1=\sigma(w+b)$
	\item Για $x=0$ : $\hat{y}_2=\sigma(b)$
\end{itemize} 
Στην συνεχεια υπολογιζουμε το τετραγωνικο σφάλμα:
\begin{equation}
	E=\frac{1}{2} \left[ 1-\sigma(w+b)^2]+
	(0 - \sigma(2))^2 \right]
\end{equation}
Για να ελαχιστοποιησουμε το σφαλμα περνουμε τις μερικες παραγωγους  του $E$ προς  $w$ και  $b$ τις θετουμε ισες με τον μηδεν 
\begin{equation}
	\frac{\partial E}{\partial w}=0, \quad
	\frac{\partial E}{\partial b}=0
\end{equation}
Η επιλυση του συστηματος αυτου δινει τις τιμες $w$, $b$ που ελαχιστοποιουν το σφαλμα 
\end{document}
