\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[greek,english]{babel}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\title{Ασκήσεις Μαθηματικών}
\author{Τσιμπούκα Κωνσταντίνα}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\textbf{1η άσκηση:}Να βρείτε το παρακάτω όριο.\\
$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x^{3}-8}{x-2}\right)$$
\\
\textbf{Λύση:}\\
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x^{3}-8}{x-2}\right)= \infty $$
\\
\textbf{2η άσκηση:}Να δείξετε ότι η σειρά $$ \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n} $$ συγκλίνει.\\
\textbf{Λύση:}\\
Η σειρά συγκλίνει αφού $$ \frac{2}{3} < 1 $$ και το άθροισμά της είναι ίσο με 
$$ \frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3 $$
\\

\textbf{3η άσκηση:}Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $$ \int_{-1}^{1}(x^{4}-2x^{3}+x+1)dx $$  με παράγουσες.\\
\textbf{Λύση:}\\
$$ \int_{-1}^{1}(x^{4}-2x^{3}+x+1)dx= \int_{-1}^{1} x^{4}dx + 2\int_{-1}^{1} x^{3}dx + \int_{-1}^{1} xdx + \int_{-1}^{1} 1dx = $$
$$ \frac{1}{5}+\frac{1}{5}-2\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+1+1 = \frac{2}{5} $$
\\

\textbf{4η άσκηση:} Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.\\
\textbf{Λύση:}\\
Φέρουμε τη μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος BC που το τέμνει στο σημείο D. Αν A ένα τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου, θα αποδείξουμε ότι
AC=AB. Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ACD και ABD  και παρατηρούμε ότι έχουν:
\begin{itemize}
\item AD=AD, κοινή πλευρά
\item CD=BD, αφού το E είναι μέσον του CB.
\end{itemize}
Άρα τα ορθογώνια αυτά τρίγωνα είναι ίσα , γιατί έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Αφού τα τρίγωνα είναι ίσα, θα έχουν και τα υπόλοιπα
στοιχεία τους ίσα, οπότε AC=AB.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{geogebra-export1.png}
\end{figure}



\textbf{5η άσκηση:} Στην πλευρά ΑΒ τριγώνου ABC παίρνουμε σημείο D τέτοιο ώστε $$ AD=\frac{2}{3} AB$$. Από το D φέρουμε παράλληλη στη BC που τέμνει την AC στο σημείο Ε.
Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι ABC είναι 18 τετραγωνικά εκατοστά, να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου DECB.\\
\textbf{Λύση:}\\
Τα τρίγωνα ADE και ABC έχουν τη γωνία Α κοινή και η γωνία D είναι ίση με τη Β, γιατί είναι εντός εκτός κι επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων DE,BC που τέμνονται από την 
AB.Δηλαδή τα τρίγωνα αυτά έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, οπότε είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 
$$ \lambda=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3} $$
Άρα για τα εμβαδά ADE, ABC ισχύει \\
$$ \frac{ADE}{ABC}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2} $$
Άρα το εμβαδόν του τραπεζίου DECB είναι 10 τετραγωνικά εκατοστά.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{geogebra-export.png}
\end{figure}

\end{document}
