\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}
\section{Άσκηση νευρωνικού δικτύου}
Έστω ένα νευρωνικό δίκτυο με μια είσοδο $x$ , ένα νευρώνα και μια έξοδο $y$. Η συνάρτηση ενεργοποίησης είναι η 
σιγμοειδής:
\begin{equation}
      \sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}
\end{equation}
Η έξοδος του νευρώνα είναι:
\begin{equation}
      y=\sigma(wx+b)
\end{equation}
όπου $w$ είναι το βάρος και $b$ η πόλωση. Δίνονται τα δεδομένα εκπαίδευσης του δικτύου:
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
     $x$ & $y$ \\
\hline
     1 & 1 \\
\hline 
     0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Να βρεθούν οι τιμές των $w$ και $b$ που να ελαχιστοποιούν το τετραγωνικό σφάλμα:
\begin{equation}
    E=\frac{1}{2} \sum{i=1}^2 (y_i-hat{y})_i^2
\end{equation}
\section*{Λύση}
Αρχικά υπολογίζουμε την έξοδο του δικτύου για κάθε δεδομένο εκπαίδευσης:
\begin{itemize}
     \item Για $x=1$ : $\hat{y}_1=\sigma(w+b)$
     \item Για $x=0$ : $\hat{y}_2=\sigma(b)$
\end{itemize}
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το τετραγωνικό σφάλμα:
\begin{equation}
     E=\frac{1}{2} \left [1 -\sigma(w+b)^2 + (0 - \sigma(b))^2 \right]
\end{equation}
Για να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα παίρνουμε τις μερικές παραγώγους του $E$ προς $b$ και τις θέτουμε ίσες με 
μηδέν.
\begin{equation}
    \frac{\partial E}{\partial w}=0, \quad
    \frac{\partial E}{partial b}=0
\end{equation}
Η επίλυση του συστήματος αυτού δίνει τις τιμές $w$ , $b$ που ελαχιστοποιούν το σφάλμα.

\end{document}
