\documentclass[10pt,doublecolumn]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[greek,english]{babel}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{cite}
\usepackage{eurosym}

\title{ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ RADON ΣΤΗΝ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ}
\author{Κεβρεκίδου Θεανώ}

\begin{document}
\maketitle
\section{ΕΙΣΑΓΩΓΗ}
Η υπολογιστική Τομογραφία είναι ακτινολογική μέθοδος εξέτασης του ανθρώπινου σώματος η οποία μπορεί να απεικονίσει σε κάθετες τομές ολόκληρο το σώμα χρησιμοποιώντας την ακτινοβολία Χ.

\section{TA MAΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΙΣΩ ΑΠΟ ΤΟ CT SCAN (ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ)} 
Το πρώτο μαθηματικό εργαλείο που βασίζεται στην αξονική τομογραφία ειναι ο μετασχηματισμός RADON οπου ορίζεται ως ο ακέραιος μετασχηματισμός που παίρνει μια συναρτηση f(x,y) που ορίζεται στο επίπεδο σε μια συναρτηση Rf που ορίζεται στον δισδιαστατο χωρο γραμμων στο επιπεδο της οποιας η τιμή σε μια συγκεκριμένη γραμμή είναι ίση με το ολοκλήρωμα γραμμής τησ συνάρτησης πανω απο αυτήν τη γραμμή.Ο μετασχηματισμός RADON ορίζεται ως: 
\begin{align}
Rf(a,s)= \iint_{-oo}^{oo}f(x(z),y(z))dz
\end{align}
\section{EYΘΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ RADON}
Για την υλοποίηση του μετασχηματισμού Radon σε MATLAB, φυσικά πρέπει να
δουλέψουμε σε διακριτή μορφή, δηλαδή με pixels, παρόλο που ο μετασχηματισμός
Radon εφαρμόζεται σε συνεχείς συναρτήσεις και δίνει ως αποτέλεσμα συνεχή
συνάρτηση σε πολικές συντεταγμένες.
Η εφαρμογή του μετασχηματισμού Radon σε μια εικόνα f(x,y) είναι ο υπολογισμός της
προβολής της εικόνας κατά μήκος διαφόρων γωνιών. Το αποτέλεσμα της προβολής
αυτής θα είναι το άθροισμα των εντάσεων φωτεινότητας των pixel στην εκάστοτε
κατεύθυνση, δηλαδή ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Το αποτέλεσμα είναι όπως είπαμε
μια συνάρτηση σε πολικές συντεταγμένες R(ρ,θ).
Οπου ρ=χcosθ + ysinθ 
Ο μετασχηματισμός Radon γραφεται ως:
\begin{align}
R(ρ,θ)= \iint_{-oo}^{oo}f(x,y)δ(p-xcosθ-ysinθ)dxdy
\end{align}
Στον αλγοριθμο αυτο πρεπει να σαρωσουμε την εικόνα μας και να την προβάλουμε σε διαφορετικές γωνίες απο 0 εως 180 μοίρες.



\bibliography{myref}{}
\bibliographystyle{plain}
\end{document}
