\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,greek]{babel}
\usepackage {alphabeta}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\section{άσκηση ολοκληρωματων}
να υπολογιστει το ορισμενο ολοκληρωμα:
\begin{equation}
           \int_0^1 (x^2+1) \, dx
\end{equation}
\subsection*{λυση}
αρχικα βρισκουμε το αοριστο ολοκληρωμα της συναρτησης $x^2+1$
\begin{equation}
     \int (x^2+1) \, dx
     =\frac{x^3}{3}+x+c
     =\left[\frac{x^3}{3}+x \right]_0^1

\end{equation}
αντικαθιστουμε τα ορια ολοκληρωσης 
\begin{equation}
     \left( \frac{1^3}{3}+1 \right)
     \left( \frac{0^3}{3}+0 \right)=
     \frac{1}{3}+1=frac{4}{3}
 \end{equation}
\end{document}

