\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[greek,english]{babel}
\usepackage{multicol}
\usepackage{alphabeta}
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1cm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{cite}
\usepackage{url}
\title{Συνεισφορά τον Μαθηματικών σε άλλες επιστήμες}
\author{Κλαίρη Οπλασένη}
\date{}

\begin{document}
\begin{multicols}{2}
\maketitle
\section{Ενότητα 1}
 Εφαρμογές της ανάλυσης Φουριέ (Fourier)
 
 Λίγο πριν το 1800, ο Γάλλος μαθηματικός/φυσικός/μηχανικός Jean Baptiste Joseph Fourier έκανε μια εκπληκτική ανακάλυψη.
 Μέσω των ενδελεχών αναλυτικών ερευνών του στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις που μοντελοποιούν την διάδοση της θερμότητας σε σώματα,
 ο Fourier οδηγήθηκε στον ισχυρισμό ότι κάθε συνάρτηση μπορεί να παρασταθεί ώς ένα άπειρο άθροισμα από στοιχειώδεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις,
 ημιτόνων και συνημιτόνων.
 Η ανακάλυψη αυτή του Fourier συγκαταλέγεται πολύ εύκολα στις δέκα σημαντικότερες μαθηματικές εξελίξεις όλων των εποχών,
 συμπεριλαμβανομένων της ανάλυσης του Newton, και της διαφορικής γεωμετρίας των Gauss και Riemann.
 Η ανάλυση Fourier αποτελεί πλέον μια ουσιώδη συνιστώσα πολλών σύγχρονων κλάδων τόσο των εφαρμοσμένων όσο και των θεωρητικών μαθηματικών. 
 Αποτελεί ένα ισχυρότατο αναλυτικό εργαλείο για να επιλύσουμε ένα ευρύ φάσμα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων στην φυσική, μηχανική, βιολογία και τα  οικονομικά.
 Έχει επίσης πολλές επιστημονικές εφαρμογές όπως στη φυσική, στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, στη θεωρία αριθμών, στη συνδυαστική ανάλυση, στην επεξεργασία 
 σήματος, στην επεξεργασία εικόνας, στη στατιστική, στην κρυπτογραφία, στην αριθμητική ανάλυση, στην ακουστική, στην ωκεανογραφία, 
 στην οπτική και σε πολλούς άλλους τομείς.

\begin{figure}[ht]\label{fig:1} 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{jjfourier}
\caption{J.Fourier}
\end{center}
\end{figure}


\section{Ενότητα 2}
Ο όρος Μετασχηματισμός Φουριέ (MΦ) αναφέρεται σε μία αυστηρώς ορισμένη μαθηματική διεργασία η οποία 
αποσυνθέτει μία συνάρτηση σε άθροισμα απείρων περιοδικών ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών συναρτήσεων. Το αποτέλεσμα 
του μετασχηματισμού είναι μία νέα συνάρτηση με διαφορετικό πεδίο 
ορισμού,επίσης γνωστή ως Μετασχηματισμός Φουριέ ή ως 
φάσμα, η οποία περιγράφει το κατά πόσο συμμετέχει κάθε στοιχειώδες 
ημίτονο στον σχηματισμό της αρχικής συνάρτησης (έστω f). Ο 
ΜΦ αποτελεί οριακή περίπτωση (για συνάρτηση f με άπειρη περίοδο, δηλαδή 
ουσιαστικά απεριοδική) της σειράς Φουριέ.

\section{Ενότητα 3}
Μια περιοδική συνάρτηση f μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο άθροισμα (σειρά) ημιτόνων και συνημιτόνων.
Η συνάρτηση με περίοδο Τ μετασχηματίζεται σε σειρά ημιτόνων και συνημιτόνων με περιόδους ακέραια πολλαπλάσια της Τ. 
Για ω = 2 π / T η σειρά γράφεται ως :


\begin{equation}
 f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{infty}(a_n*cos(nωt)+b_n*sin(nωt))
\end{equation}
 με συντελεστές :

 
\begin{align*}

   a_0 &= \frac{2}{T}\int_{0}^{T}(f(t))dt \\
   a_n &= \frac{2}{T}\int_{0}^{T}(f(t)sin(nwt))dt \\
   b_n &= \frac{2}{T}\int_{0}^{T}(f(t)cos(nwt))dt

\end{align*}

 η πρώτη δουλειά που έχουμε να κάνουμε είναι να δούμε αν μπορούμε να βρούμε τους συντελεστές a_n, b_n και μετά οτιδήποτε άλλο όπως θέματα σύγλισης κτλ.
 Οι σχέσεις ορθογωνιότητας χρησιμεύουν στο να καθορίσουμε τους συντελεστές Fourier α_n ,b_n ,παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο στα δύο μέλη της εξίσωσης.

\begin{equation}
 <f,cos(lt)>= \frac{a_0}{2}<1,cos(lt)>+\sum_{n=1}^{infty}[a_n*<cos(nt),cos(lt)>+b_n<sin(nt),cos(lt)>]\\
 	    =a_l<cos(lt),cos(lt)>\\
 	    =a_l ,
\end{equation}

δηλαδή a_n=<f,cos(nx)>
με παρόμοιο τρόπο παίρνουμε ότι: b_n=<f,sin(nx)>



\end{multicols}
\end{document}
